《智能控制讲义第三章模糊控制的数学基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《智能控制讲义第三章模糊控制的数学基础（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3章 模糊控制的数学基础3.1 概述模糊数学为模糊系统与模糊控制的发展提供了起点和基本语言。模糊数学本身就是一个巨大的领域，其原理是由用模糊集合的概念取代经典数学理论中的集合概念而发展来的。按照这种方式，所有的经典数学分支都可以被“模糊化”，于是诞生了模糊测度理论、模糊拓扑、模糊算数和模糊分析等等分支。显然，模糊数学中仅有一部分可以应用到工程中去。本章仅仅介绍后续模糊控制器设计中所用到的相关内容。图3-2 模糊集合的特征函数A (u)Auab1图3-1 Contor集合的特征函数0A (u)在现实生活中，人们接触过很多概念。任何一个概念都有着其内涵和外延。概念的内涵是这一概念的本质属性，而概
2、念的外延是指符合这一概念的对象范围。当我们谈论某一个概念的外延时，总离不开一定的讨论范围。如我们讨论“工业控制计算机”这一概念时，自然我们不会去考虑那些风马牛不相及的事物，如汽车、机床或老鼠、大象等。我们讨论的这个范围称为“论域”，论域中的每个对象称为“元素”。而具有某些特定属性的元素的全体构成了该论域上的一个集合。对于这些明确的概念，我们可以用德国数学家康托(Contor Georg, 1845-1918)提出的经典集合来表示。对于这种具有明确外延的概念，即对于一个具体的对象来说，它要么属于这个概念的范围，要么不属于这个概念的范围。集合的特征函数描述了这个明确的外延。然而，在现实生活中，有许
3、多问题不能用Contor集合来描述，即，这些概念没有明确的外延。这种没有明确外延的概念我们称之为模糊概念。如，青年人、老年人、高个子、好人等概念。1965年美国自动控制理论专家L.A.Zadeh提出了模糊集合理论，解决了对这类概念的描述。模糊集合理论将Contor集合论中的概念拓展，即，把特征函数的取值范围从0，1扩充到0，1，不再把论域中的某个对象说成是属于这个集合还是不属于这个集合，而是说某个对象隶属于这个集合的程度是多少。3.2 普通集合及其运算性质一、集合的基本概念表3-1给出了普通集合的最基本概念。表3-1 集合的基本概念1论域由被考虑对象的所有元素的全体组成的基本集合称为论域，用大
4、写字母U、E等表示。2元素论域中的每个对象，称为元素，用小写字母a、b等表示。3集合给定一个论域，其中具有某种共同属性的、确定的、彼此间可以区别的元素的全体称为集合。它是指具有同一本质属性的全体事物的总和，用大写字母A、B等表示。对于论域U中的元素a及任意一个集合A，它们的关系只有两种，属于与不属于，表示为，或。4空集集合中不包含任何元素，这样的集合称为空集，表示为。5全集集合中包含论域里的全部元素，这样的集合称为全集，表示为E。6包含设A、B是论域U的两个集合，若，则称集合B包含集合A，表示为，或称A包含于B，表示为。7相等设A、B是论域U的两个集合，若与同时成立，则称A=B，表示为。8子集
5、设A、B是论域U的两个集合，若集合B中的所有元素是由集合A中的部分元素或全部元素组成，则称集合B是集合A的子集。表示为或。空集是任意集合的子集。9幂集给定集合A，以它的全体子集为元素组成的集合称为A的幂集。表示为P（A），即，P（A）=B是A的子集。10并集设有任意两个集合A和集合B，若集合C是由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，则C称为A和B的并集。表示为： ，并被定义为：。11交集设有任意两个集合A和集合B，若集合C是由同时属于集合A和集合B的元素组成的集合，则C称为A和B的交集。表示为： ，并被定义为：。12补集设集合A为论域E上的一个集合，由论域E中不属于A的所有元素组成的集合称
6、为A的补集。表示为：。定义为： 。幂集举例：设集合A=3，6，8，求其对应的幂集。解：根据幂集的定义，可知集合A的幂集为P（A）=，3，6，8，3，6，3，8，6，8，3，6，8，即集合A的幂集有8个元素。二、集合的运算性质设集合A、B、CE，其交、并、补运算具有如下性质：表3-2 集合运算性质1幂等律：AA=A，AA=A；2交换律：AB= BA， AB= BA；3结合律：（AB）C=A（BC），（AB）C=A（BC）；4分配律：A（BC）=（AB）（AC），A（BC）=（AB）（AC）；5同一律：A=，A=A，AE=A，AE=E；6吸收律：A（BA）=A，A（BA）=A；7互补律：AAc=，
7、AAc=E；8还原律：（Ac）c=A；9对偶律：（AB）c=A cB c，（AB）c=A cB c。三、集合的表示方法下面给出集合常用的表示方法。1 列举法当集合中的元素个数为有限时，可将其中的元素一一列出，例如：A= a, b, c, d ，表示集合A由4个元素构成。2 描述法当集合中的元素数目为无限时，可通过元素的定义来表示集合。例如：A= x | p(x) ， （3-1）表示由满足p(x)的所有x构成集合A。3 特征函数法设A是论域U上的集合，记 （3-2）为集合A的特征函数。4 文氏图法用任意一个封闭的图形如圆、椭圆、矩形等表示一个集合。例如图3-3表示了论域U上集合A、B及其它们的交
8、与并。ABABUAB 图3-3 文氏图法3.3 模糊集合论基础一、模糊集合（一）模糊集合的概念根据集合的概念，我们知道，对于任意一个普通集合A而言，其论域中的元素x要么属于这个集合，此时，要么不属于该集合，此时，即存在非此即彼的概念。然而，在现实生活中，有大量的事物具有模糊的特点，无法用普通集合来描述。例如，“中年人”，就是一个模糊概念。因为“中年人”这个概念涉及两个问题： 中年人的外延问题，即，年龄界限是多少？ 当一个人的年龄在这个界限内，那么他是否完全属于中年人的范畴？对于这样的问题，不同的人完全可以给出不同的回答。现在，假设中年人的年龄界限为35-50。若有3个人的年龄分别是36、45、
9、55，那么他们三人属于中年人的程度是否一样？通常，人们会认为45岁相对于36岁其隶属于中年人的程度要大；而对于55岁的人，尽管他已经开始进入老年，但他同时仍然隶属于中年人，仅仅相对于45岁的人而言，其隶属程度比较小而已。由此，我们可以发现，前面假设的中年人年龄界限35-50岁，实际应用中是不能够准确描述人们的认识和观念的，用大致为35-50岁左右来描述中年人的年龄界限（没有清晰的外延）似乎更合理。因此，对于一个模糊概念来说，其特征是外延不清晰。又如，概念“头发多”，也是一个模糊概念，单位面积上到底有多少根头发时才可以称为头发多呢？假设每平方厘米有200根头发时为多，那当一个人他的头发是平均每平
10、方厘米199根，那他的头发还多还是少呢？而对于此类问题在实际中也不可能去精确量化。诸如此类的这种模糊概念在日常生活中到处可以碰到。为此，凡是外延不明确的集合都称之为模糊集合。由于模糊集合往往是某个论域的子集，所以，在讨论模糊集合时，常常称它为模糊子集。通常用大写字母下加或上加波浪线来表示。如：，。（二）隶属度对于模糊概念不能用普通集合的属于与不属于来描述，必须通过反映某个元素x属于模糊集合的程度的隶属函数来描述。表示元素x属于模糊集合的隶属度，取值范围在0，1之间。例3-1 以年龄为论域，设E=0，100，Zadeh给出了模糊集合青年人的隶属函数为： （3-3）其中，x代表年龄，当x分别为26
11、、35、55时，通过上式计算可得到这三个年龄的人分别隶属于模糊集合青年人的隶属度为： 注意：由描述模糊集合青年人的隶属度函数式（4-3）可知，0至25岁隶属于模糊集合青年人的隶属度均为1显然是不尽合理。这表明该隶属度函数的构造不能够很好地描述青年人这一模糊概念，若修改此隶属函数为下式： ， （3-4）则4、10、18、25、35和55岁的人隶属于模糊集合青年人的隶属度分别为： ， ， ， 。（三）模糊集合的表示方法1 Zadeh表示法（1）论域U为离散有限域时，模糊集合可表示为 , （3-5）式中， 并不代表 “分数”，而是表示论域中素属于模糊集合的隶属度和元素之间的对应关系，称为“单点”。同
12、样“+”也不表示“求和”，而是表示论域U上所有元素及其隶属于模糊集合的隶属度的总体关系。如果某项的隶属度为零，则该项可不写入。该方法简单、实用。但它只适用于论域为有限的情况。（2）如果论域U为无限域时，可将式（3-5）推广到一般形式，如式（3-6）所示：， （3-6）式中，积分符号也不表示求和运算，而是用来表示各元素与隶属度对应关系的一个总和。2 向量表示法当论域U为离散有限域时，U上的模糊集合还可以表示成向量形式，即 。 （3-7）但应注意：向量表示法中隶属度为零的项不能省略。例3-2 设某设备运行速度的论域为U=200，400，600，800，1000，1200，1400，单位为r/min
13、，“速度高”是一个模糊概念，“速度高”表示一个模糊集合。用Zadeh表示法表示如下： 。 去掉隶属度为零对应的元素项，又可表示为：。用向量表示法表示为：=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 。 此时，对应隶属度为零的元素项不可省略。3 隶属函数表示法模糊集合还可以用隶属函数来描述，它表示元素x隶属于模糊集合的隶属程度。例如例3-1中的和，给出了模糊集合青年人的隶属函数，用以描述该集合的特征。4 用序偶形式表示设论域U为离散有限域时，模糊集合可表示为例3-3 在整数1到10组成的论域U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，设表示模糊集合“几个”。并设各元素的隶属度函数依次
14、为，请用序偶形式表达该模糊集合。解：则模糊集合=（1，0），（2，0），（3，0.3），（4，0.7），（5，1.0），（6，1.0），（7，0.7），（8，0.3），（9，0），（10，0）。二、隶属函数及其确定1 隶属函数普通集合用特征函数来表示，而模糊集合的特征函数通常称做隶属函数。隶属函数能够很好地描述事物的模糊性。关于隶属函数要注意到两点： 隶属函数是Contor集合特征函数的扩展，其值域为0，1；的值表示了元素x隶属于模糊集合的程度。 隶属函数完全刻划了模糊集合，隶属函数是模糊数学的基本概念。不同的隶属函数刻划了不同的模糊集合。2 隶属函数的确定重要性：隶属函数的建立是一项十分关键的工作，它的合理性直接影响对问题描述的正确性。多样性：由于模糊集合理论研究的对象具有模糊性以及客观实际研究对象的多样性，目前还没有统一的隶属函
