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1、第一章平面向量有向線段與向量主題1有向線段與向量IB （終點）1有向線段：帶有方向的一線段；包括始點、方向、長度如圖，記為AB。A （始點）A、B兩點的距離稱為AB之長，記為|AB2. 向量：具有大小和方向的量1表示方法：利用有向線段。（不考慮始點的位置）2. 零向量：始點與終點重合的有向線段，如 AA、PP，通常以0表示。3. 相等向量：二向量相等4. 向量的加法：#! * * * * a baba b二大小相等，方向相同（三角形法）（平行四邊形法）5. 向量加法的基本性質：（1）交換律:a b= b ar- # * f (2) 結合律：(a b)+c= a + (b c)(3) 零向量：a
2、+0 = a=0 + a可逆性：a6.向量的減法:7. 向量的分解:AB =A0 OB（0 ：任一點）AB =0B -OA（0 ：任一點）8. 向量的係數積：向量係數積的意義：設a為一向量，R，考慮a的r倍，便以ra表示。若a =0 , r 0 時,r a與a同向，長度為a的r倍。(4) r 0 時，r a與a反向，長度為a的|r倍。 r =0 時,r a =0。若a = 0，則r a ：=0 D9. 平行向量：a b= r R，使得a = rb ;其中a , b=0。主題2：向量的內積1. 定義：設a,b =0，且二為其夾角(0 向量的係數積：若a =(耳月2)，則r = (ra1,ra2)
3、。 單位向量：長度為1的向量。 _a2)2(2) 若 AD 垂直 BC於 D 點，則：(1) AD BC 二 AD (AC - AB) = 05. 徬心公式： ABC中.B,. C的外角角平分線相交於P , BC二a , CA二b , AB二c，則:aOA 亠 bOB 亠 cOCOP = a +b +c，-aAP bBP cCP = 0。八 ABC 中 BC*，Eb，ABM 則：人如2。2)設P為ABC所在平面上任一點，若IPA-mPB，nPC = 0，其中l,m,R，且均不為0,則面積比 aAPAB: aPBC : a也PCA= n : l : m。平面向量的坐標表示法主題1:坐標向量9.
4、右a =1月2)，則:(1)與a同方向的單位向量為(2)與a反方向的單位向量為-=a10. 平行向量：設a二盘)，b =(0山2),則U a b：=R使得a=rb,其中a,b = 0：=旦二旦bib2【我=a2b】 探 AB =(a,b)方向角：，CD =(c,d)方向角一：若 AB = CD AB 二 CD,：= 一：二 a 二 c, b 二 d主題2:分點公式-1內分點公式：A(Xi,yi)T cnT B(X2,y2)，則：。严 * nXi , my2 *nyi) m + n m + n2外分點公式：A(xi,yi) m B(x2,y2) n C，則：C(空 些，业 図)m n m n3中
5、點公式：若A( xi , yi ) , B( X2 , y2 )，則中點為y2 )2 241ABC中頂點為A,B,C， A,. B, C所對應邊長為a,b,c若 A( xi , yi ) , B( X2 , y2 ) ,C( X3 , y3 )，則?ABC :(i)重心為 G(Xi X2 X3,yi y2 y3)33：2)內心為i(aXi+bX2+cX3,ayjby2+cy3)主題3：直線參數式a +b +ca +b +cfi過P(xo,yo)且平行向量v=(a,b)的直線參數式為/=Xat , ry = y +bt此直線的斜率為b，方向向量為(a,b)a一直線之參數方程式表示法不唯一。2設
6、A(Xi, yi)，B(X2,y2)為相異二定點，則：(i)直線Ab的參數式為 L+&2-宀，“ry =yi +(y2 - yjt線段AB的參數式為$ =人+(卷-5 , o三gy = yi +(y2-yjt射線AB的參數式為$ =Xi、+(X2-Xi)t 2oy = yi +(y2-yjt直線ax by0之法向量為(a,b)，斜率為-坐標向量的內積b主題1向量的內積1.向量的內積：若a = (a1,a2) , b=(b|,b2), a , b的夾角為二，則:a b = a b cosB =抽 + a2b2,2.向量的垂直與平行:a/b ：=虫=更【cb2 =a2a】bib2主題2:兩直線的夾
7、角1.直線的法向量：直線ax by 0的法向量為(a,b)，方向向量可設為(b,-a)2.兩直線的夾角公式：(夾角有兩個,其一為门則另一為二-v )設L| : ax by g = 0， L : a2x戈y g = 0為平面上二直線，夾角為 二 則COS T 二a1ab1b2a； bi2 , a22 b223. 設兩直線Li，L2均不與x軸垂直，斜率分別為mi、m2，夾角為二(年二/2)，則tan，凹匸匹1 +耳口24.兩直線丿Li：ax y Ci 0的角平分線為L2: a2x +b2y= 0aixbiyCia2x b2yC2. a； bi2主題3:正射影(-a-b ) b，但 b = 0|b
8、|2i.若a,b的夾角為則: (i) a在b上的正射影為(| a | cost)|b |a在b上的分量為| a | cos v - a . b。|b |r a在b上的正射影的長為，但b = 0。|b |主題4:點到直線的距離i.點 P(x0,y )到直線 L : ax by 0 的距離為 d(P,L) = |ax by c| *a2 +b22兩平行直線Li ax十by + G = 0的距離為dL?) = 一1丄2 : ax +by + C2 = 0Ja2 +b23兩直線;Li yx+by+G =0的角平分線為 9C1 = 电学心 上2 :a2x+b2y+C2 =0摘TO齐bf4. 面積公式：設 A=(Xi,yJ , AC=(X2,y2)，則 ABC 面積J | AB |2| AC |2 _(AB -AC)2 2(2)OA = (Xi,yJ , OB=(X2，y2)則OAB2OB2_(OA OB)1= 2|xiyiy2 =1OA OB(3) 平行四邊形的面積：以u- (a,b) , v - (c
