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1、图像的离散余弦变换（DCT）【摘 要】信息时代的到来，多媒体技术在飞速的发展。而图像压缩技术也成 为了一个热门的技术。而图像变换是图像压缩中必不可少的步骤，可以提高图像 压缩的效率，而离散余弦变换是性能较好而简单的图像变换，有助于初学者掌握 图像变换的规律和性质，从而更好的掌握图像压缩技术。关键词：图像压缩技术、图像变换、离散余弦变换随着信息社会的发展，图像这种直观的多媒体信息得到越来越多人的喜爱， 无论有没有受过教育，基本都可以接收图像中的信息，所以如何压缩图像也成为 一个热门话题现在的图像压缩技术种类比较多，所使用的图像变换技术也不尽相 同，压缩的效果当然也不相同，由于JPEG具有高效压缩
2、的优势，基于DFT域的 图像压缩算法一直很少被使用，国际上制订了以DCT为核心的静止图像压缩标准 PEG。1本文结构如下：第一部分介绍图像压缩技术的现状，第二部分介绍了 DCT变 换原理；第三部分是MATLAB的实现；第四部分检验程序和对图像变换结果的分 析；第五部位是对DCT变换的总结。1. 图像压缩技术的现状随着现代通信技术、大规模集成电路技术以及图像编码技术的发展，视频通 信得到广泛的应用，视频图像的编码解码标准也逐步完善。国际电信联盟远程通 信标准组织（ITU-T ）和国际标准化组织国际电工委员会（ISO/IEC ）先后颁布了 一系列有关静止图像和活动图像编码的国际标准，这些标准集成了
3、图像编码40 多年的研究成果，综合了压缩效率、实现复杂度以及便捷性等因素，提出了相对 较优的方案，而JPEG2000这种静止图像标准以及MPEG-x系列和H.26x系列视频 编码标准就是他们的重要成果。2. DCT变换的原理、性质及过程2.1 DCT变换的原理DCT变换利用傅立叶变换的性质。采用图像边界褶翻将像变换为偶函数形式, 然后对图像进行二维傅立叶变换，变换后仅包含余弦项，所以称之为离散余弦变 换。DCT编码属于正交变换编码方式，用于去除图像数据的空间冗余。变换编码就是 将图像光强矩阵（时域信号）变换到系数空间（频域信号）上进行处理的方法。在空 间上具有强相关的信号，反映在频域上是在某些
4、特定的区域内能量常常被集中在 一起，或者是系数矩阵的分布具有某些规律。我们可以利用这些规律在频域上减少量化比特数，达到压缩的目的。图像经DCT变换以后，DCT系数之间的相关性 就会变小。而且大部分能量集中在少数的系数上，因此，DCT变换在图像压缩中 非常有用，是有损图像压缩国际标准JPEG的核心。从原理上讲可以对整幅图像 进行DCT变换，但由于图像各部位上细节的丰富程度不同，这种整体处理的方式 效果不好。为此，发送者首先将输入图像分解为8*8或16*16块，然后再对每个 图像块进行二维DCT变换，接着再对DCT系数进行量化、编码和传输；接收者通 过对量化的DCT系数进行解码，并对每个图像块进行
5、的二维DCT反变换。最后将 操作完成后所有的块拼接起来构成一幅单一的图像。对于一般的图像而言，大多 数DCT系数值都接近于0,所以去掉这些系数不会对重建图像的质量产生较大影 响。因此，利用DCT进行图像压缩确实可以节约大量的存储空间。在实验中，先 将输入的原始图像分为8*8块，然后再对每个块进行二维DCT变换。离散的二维傅里叶变换公式为：1科-IN-1F很町= gid加严5嘟州Z 逆变换:而由傅里叶变换的性质，F（x,y）为偶函数时傅里叶变换公式中的虚部为零，只有余弦项。 维离散余弦变换的公式为：F血屈=c(u)cM 工i=0 J 二 DCOSitcos(j + 0.5)?rVNDCT=逆u=
6、0u=0ItNc其中，逆变换也可以根据傅里叶变换的原理得到，如下:F = AfA7-月一：=月丁/. f =A1F(.Ar)1 =2.2DCT变换的性质2.2.1去相关性由于像素间存在空间冗余，通过图像将图像变为互不相关的系数，然后可以对互不相关的 系数进行编码2.2.2能量紧缩性观察图像的频谱图可以发现，越往高频的地方，能量就越小。2.2.3可分离性：2 MN - 1F ( u , v ) = C ( u ) C ( v yf ( x , y ) cosMNx = 0 y = 01cos(2 x + 1)u ncos(2 y + 1) v nC (u ) C ( v )MNME(2 x +
7、i)u ny = 011f ( x , y )cos(2 y + 1 ) v n2Ml=c ( U )2MNx = 0C()_ 1=C ( u )cosMx = 0x = 01(2 x + 1)u n 小cosCF (x,v )(2 x + 1)v ny = 0f ( x , y )cos(2 y + 1) v n上面公式告诉我们，如果想求f(x,y)离散余弦变换，可以先求每一行的离散余弦变换得到 F(x,v)，然后再对每一列进行一维离散余弦变换得到F(u,v),这就是可分离性。32.3 DCT变换过程2.1 DCT编码DCT编码属于正交变换编码。这类算法通常是将空间域上的图像经过正交变换映射
8、到系 数空间，使变换后的系数直接相关性降低。图像变换本身并不能压缩数据，但变换后图像大 部分能量集中到了少数几个变换系数上，再采用适当的量化和熵编码便可以有效地压缩图 像。信息论的研究表明，正交变换不改变信源的熵值，变换前后图像的信息量并无损失，完全 可以通过反变换得到原来的图像值。但图像经过正交变换后，把原来分散在原空间的图像数 据在新的坐标空间中得到集中，对于大多数图像而言，大量的变换系数很小，只要删除接近 于0的系数，并对较小的系数进行粗量化，而保留包含图像主要信息的系数，以此进行压 缩编码。在重建图像进行解码(逆变换)时，所损失的将是些不重要的信息，几乎不会引起 图像失真，图像的变换编
9、码就是利用这些来压缩图像并得到很高的压缩比。由于图像可看成二维数据矩阵，所以在图像编码中多采用二维正交变换方式，然而其正交变 换的计算量太大，所以在实用中变换编码并不是对整幅图像进行变换和编码，而是将图像分 成若干个nxn的子图像分别处理。这是因为小块图像的变换计算比较容易，而且距离较远 的像素之间的相关性比距离较近的像素之间的相关性要小。2.2 DCT解码在解码过程中，形成压缩后的图像格式，先对已编码的量子化的DCT系数进行解码，然后求逆量化并把DCT系数转化为8X8样本像块(使用二维DCT反变换)，最后将操作完 成后的块组合成一个单一的图像。这样就完成了图像的解压过程3. MATLAB的介
10、绍以及所需函数的说明：3.1 MATLABMATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂(矩阵实验室)。是由美国 mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。 它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功 能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的 众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语 言(如C、Fortran)的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。3.2使用的MATLAB函数介绍lmread(
11、)：用于读取图片文件中的数据figure():控制画图的窗口 imshow():显示图像rgb2gray();把真彩图像转变为灰度图像dct2();DCT 变换Colormap();可以拖动上面的颜色块控制条改变位图颜色(双击)。一般是函数image()画出 的连续的灰度图使用。Colorbar:colormap实际上是一个mx3的矩阵，每一行的3个值都为0-1之间数，分别代表 颜色组成的rgb值idct2():DCT 逆变换Subplot():将当前窗口分割成多个子窗口，第一个参数表示分割窗口的行数，第二参数表示 分割后窗口的列数，第三个参数表示第几个子窗口4. MATLAB程序以及结果分析
12、4.1 MATLAB 程序mypicture=imread(1.jpg);%读入测试图像 figure(),imshow(mypicture),title(原输入图像);% 显示读入的图像%为了防止后一个显示的图像覆盖前一个显示结果，每次显示时调用figure生成一个新窗口 graylmage=rgb2gray(mypicture);%如果读入的是彩色图像则转化为灰度图像(灰度图像省 略这一步)figure(),imshow(graylmage),title(原输入彩色图像转化为灰度图像)；%对图像DCT变换dctgraylmage=dct2(graylmage);figure();imsho
13、w(log(abs(dctgraylmage),);,title(DCT 变换灰度图像); colormap(gray(4);colorbar;%对灰度矩阵进行量化dctgraylmage(abs(dctgraylmage)vO.1)=O;%DCT逆变换l=idct2(dctgraylmage)/255;figure();imshow(l),title(经过DCT变换，然后逆变换的灰度图像)；%对比变换傅里叶变换前后的图像figure(),subplot(121),imshow(graylmage),title(原灰度图像),subplot(122),imshow(l),title(DCT 逆
14、变换图像),4.2结果分析：1原图像：2灰度图像:I口网3DCT变换图像:4DCT逆变换图像:5变换前后图像对比:原抚度圉濛口匕干：逆变撫冏像结果分析：对原始图像进行离散余弦变换，如图3所示，由结果可知，变换后DCT系数能 量主要集中在左上角，其余大部分系数接近于零，这说明DCT具有适用于图像压缩的特性。 将变换后的DCT系数进行门限操作，将小于一定值得系数归零，这就是图像压缩中的量化 过程，然后进行逆DCT运算，得到压缩后的图像，如图4。由图5比较变换前后的图像， 肉眼很难分辨出有什么区别，可见压缩的效果比较理想。五总结与展望；DCT变换的优势是简单，快捷。但是，仿真结果说明当图像压缩比增大时，压缩效率减小, 图像质量降低。但是，当压缩比较高时，这种块的独立处理带来了压缩效率上的限制和方块 效应问题，方块效应成为限制DCT编码质量的主要因素。所以，近年来，小波变换作为新 兴的数学分支正成为图像压缩领域的前沿技术。基于小波的编码有效改进高压缩比的画面质 量，新一代的静止图像压缩标准JPEG2000就以小波变换为核心算法。参考文献：张雅琪，才华.基于DFT、DCT和小波变换图像压缩与Matlab实现j.电脑知识与技术，2013 （21）王新年，张松涛数字图像压缩技术实用教程M.机械工业出版社，2009.8
