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1、名校精品资料数学专题能力测评(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1体积为4的球的内接正方体的棱长为 _.解析设球的半径为R，由R34得R，设球的内接正方体的棱长为a，则a2，a2.答案22在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论：BC平面PDF；DF平面PAE；平面PDF平面ABC；平面PAE平面ABC，其中不成立的是 _(填序号)解析若平面PDF平面ABC，则顶点P在底面的射影在DF上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此假设不成立答案3(2013广东改编)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的
2、平面，下列四个命题：若，m，n，则mn；若，m，n，则mn；若mn，m，n，则；若m，mn，n，则，其中正确的是 _(填序号)解析中，m与n可垂直、可异面、可平行；中m与n可平行、可异面；中若，仍然满足mn，m，n，故错误；正确答案4正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则下列四个命题 _.点H是A1BD的垂心；AH垂直于平面CB1D1；AH的延长线经过点C1；直线AH和BB1所成角为45，其中错误的是 _.解析因为三棱锥AA1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，正确；平面A1BD平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，正
3、确；根据对称性知正确，故选.答案5关于直线a、b、c，以及平面M、N，给出下列命题：若aM，bM，则ab；若aM，bM，则ab；若ab，bM，则aM；若aM，aN，则MN.其中正确命题的个数为_解析中a与b可以相交或平行或异面，故错中a可能在平面M内，故错答案26过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条答案67(2013徐州模
4、拟)如图所示，在边长为4的正方形纸片 ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为_解析折叠后的四面体如图所示OA、OC、OD两两相互垂直，且OAOCOD2 ，体积VSOCDOA(2 )3.答案8如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A， B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点有以下四个命题：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)解析错误，PA平面MOB；正确；错误，否则，有OCAC，这与BCAC矛盾；正确
5、，因为BC平面PAC.答案9将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体BDA1C1，这个正四面体的体积是正方体体积的_解析设正方体的棱长为1，依题意知截去的角为一个三棱锥，其体积为：V1111.则正四面体BDA1C1的体积V14.答案10如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1.若二面角CABC1的大小为60，则点C到平面C1AB的距离为 _.解析取AB中点D，连接CD，C1D，则CDC1是二面角CABC1的平面角因为AB1，所以CD，所以在RtDCC1中，CC1CDtan 60，C1D.设点C到平面C1AB的距离为h，由VCC1ABVC1ABC，得1h1，解得h.答案11已知正四棱锥S
6、ABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 _.解析设底面的中心为O，令高为h，则AO，ABAO.体积V2h(12h2)h38h.求导得V2h28.由V0得h2.答案212如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.解析由已知得B1D平面AC1，又CF平面AC1，B1DCF，故若CF平面B1DF，则必有CFDF.设AFx(0x3a)，则CF2x24a2，DF2a2(3ax)2，又CD2a29a210a2，10a2x24a2a2(3ax)2，解得xa或2a.答
7、案a或2a13已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_解析依题意棱锥OABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连接AC，取AC中点O，连接OO.易知AC4，故AO2.在RtOAO中，OA4，从而OO2.所以VOABCD2628.答案814(2013深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面ABE，已知AB2，AEBE，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AMMNNB的最小值为 _.解析依题意得，点E到直线AB的距离等于，因为该几何体的左(侧)视
8、图的面积为BC，所以BC1，DEECDC2.所以DEC是正三角形，DEC60，tan DEA，DEACEB30.把DAE，DEC与CEB展在同一平面上，此时连接AB，AEBE，AEBDEADECCEB120，AB2AE2BE22AEBEcos 1209，即AB3，即AMMNNB的最小值为3.答案3二、解答题(本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.证明(1)在PAD中，因为E，F分别为A
9、P，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD.所以直线EF平面PCD.(2)连接BD.因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.16(本小题满分14分)如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB2，ADEF1.(1)求证：AF平面CBF；(2)设FC的中点为M，求证：OM平面DAF.证明(1)平面ABCD平面ABEF，CBAB
10、，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF.AF平面ABEF，AFCB.又AB为圆O的直径，AFBF.又CBBFB，AF平面CBF.(2)设DF的中点为N，连结MN、AN，则MN綉CD.又AO綉CD，则MN綉AO.四边形MNAO为平行四边形OMAN.又AN平面DAF，OM平面DAF，OM平面DAF.17(本小题满分14分)如图，在棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，A1AB60，四边形BCC1B1为矩形，若ABBC且AB4，BC3.(1)求证：平面A1CB平面ACB1；(2)求三棱柱ABCA1B1C1的体积(1)证明由四边形A1ABB1为菱形，得AB1A1B.因为四边形B
11、CC1B1为矩形，所以CBBB1.又因为ABBC，ABBB1B，所以BC平面ABB1A1，又AB1平面ABB1A1，所以BCAB1.因为A1BBCB，所以AB1平面A1CB.因为AB1平面ACB1，所以平面A1CB平面ACB1.(2)解因为四边形A1ABB1是菱形，AB4，A1AB60，所以SA1ABB18.所以VCA1ABB1CBSA1ABB18.故VABCA1B1C1VCA1ABB1812.18(本小题满分16分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点(1)证明：BDEC1；(2)如果AB2，AE，OEEC1，求AA1
12、的长(1)证明连接AC，A1C1.由底面是正方形知，BDAC.因为AA1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD.又AA1ACA，所以BD平面AA1C1C.因为EC1平面AA1C1C知，BDEC1.(2)解设AA1的长为h，连结OC1.在RtOAE中，AE，AO，故OE2()2()24.在RtEA1C1中，A1Eh，A1C12，故EC12(h)2(2)2.在RtOCC1中，OC，CC1h，OC12h2()2.因为OEEC1，所以OE2EC12OC12，即4(h)2(2)2h2()2，解得h3，所以AA1的长为3.19(本小题满分16分)如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC
13、60，E是BC的中点如图，将ABE沿AE折成二面角BAED，连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点(1)求证：AEBD；(2)求证：平面PEF平面AECD.证明(1)在图中，连BD交AE于G，连结AC，DE.则由条件得ABED与AECD是菱形，所以BDAE，ACDE.在图中，因为AEBG，AEDG，BGDGG，所以AE平面BDG，又BD平面BDG，所以AEBD.(2)在图中由(1)得AEBD.因为DCAE，所以DCBD.因为PF是BDC的中位线，所以BDPF，所以DCPF.因为F是DC的中点，所以EFDG是平行四边形，所以EFGD.因为DCDG，所以DCEF.因为PFEFF，所以DC平面PEF.因为DC平面AECD，所以平面PEF平面AECD.20(本小题满分16分)如图，已知ABCD是矩形，AD4，AB2，E和F分别是线段AB和BC的中点，PA平面ABCD.(1)证明：PFFD；
