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1、第一章代数运算与自然数一、考核知识点集合及其运算映射与函数，映射的合成与逆映射置换，复合函数与反函数代数运算及性质，代数体系，同态与同构自然数的定义及其运算归纳法原理二、考核要求：1. 熟练掌握集合的概念，着重掌握幕集、积集合和万有集合等概念。2. 理解映射的定义、性质。掌握求映射的合成和逆映射的方法。了解置换等概念。3. 了解代数体系与代数运算的概念及性质。知道代数系统同态和同构的概念。4. 了解自然数的定义，掌握自然数的运算。5. 掌握各种归纳法及其简单应用。着重掌握第一(第二)数学归纳法三、重点和难点解析(一)集合的概念1. 幕集例1设集合 A=, a, a,b，求幕集P(A).解：根据
2、幕集所含元素的个数，知P(A)含有24=16个元素。则由幕集合的定义知P(A)=, a, a, b, ,a,a,b, a, a, a,b, a, b,a, a,a,b,a, b, a,a, b,a,a, b说明：写有限集合 A的幕集P(A)时，首先搞清楚P(A)中所含元素的个数(|P(A) =2A )；其 次搞清楚P(A)的构成，注意空集 门和集合A本身也是P(A)的元素。2. 积集合例2设集合A=a,b ,B=1,2,3，写出积集合 Ax B和Ax B的元素个数。解：Ax B = (a,1 ) , (a,2 ), (a,3 ), (b,1 ), ( b,2 ), ( b,3 ), , A x
3、 B = 6说明：(1) 两个非空集合A、B的积集合是由所有的有序对(a , b)构成的集合，记作AxB=( a ,b)aA,bB。其中A中元素为有序对第1个元素，B中元素为第2 个元素。(2)积集合的元素的个数 A=m , B=n，贝U AxB=mx n3. 万有集合V注意 万有集合V的概念，相当于全集，V A为A的补集。一、映射1. 映射的定义和映射的个数例3若A= 1,2,3 , B=a, b, c,判断下列哪个对应关系为映射。并指出A到B的映射的个数。1 ：1 a, 2 a, 3 r a ； ；2 ： 1a, 2 b, c ；1, 2是 A到 B 的映射.二3 :1 a,1 b, 3
4、a ； ( “1” 有两个对应值)；二4 : a, 2 b ； ( “3”没有对应) 所以，匚3,匚4不是映射。从A到B的映射的个数为 33 =27个说明：理解映射的概念时，注意掌握(1) 映射是两个非空集合 A B之间的对应关系；(2) “每一个” A中的元素，都有“惟一”确定的B中的元素与之对应。(3) 从有限集合A到有限集合B的不同映射的个数为。即不同映射的个数为“后底前指”。 2满射、单射和双射例4.设集合A= 1 , 2, 3, B= a, b，试写出A到B的所有不同映射。不同映射的个数为23 =8个，分别为二 1 :1a,2- a, 3-a；二2 ：1； a,2；b,3； a；3
5、： 1 “a,2 r a, 3 b；- 4 : a,2b, 3 b；二5:1 rb,2 r a, 3ra；匚 6 ：1 = b,2b, a ；-7 ：1 b,2 a, 3 b,- 8 ： 1 b,2 b, 3b二2,二3,二4,二5,二6,二7是满射，没有单射和双射。说明：(1 )要写出从集合 A到集合B全部的不同映射，类似于写幕集的过程。首先弄清楚不同映射的 个数，然后再写出不同的映射。(2) 前4个映射为一组，1都对应a, 2和3的对应共有22 =4种变化；后4个为一组，1都对应b, 2和3的对应的变化同前 4个一致，所以在写不同的映射时只需记住这种规律就比较容易写出。(3)理解A B的映
6、射是满射、单射和双射时，应注意：满射：看集合B的所有元素是否都有原象与之对应，单射：看集合A的所有不同元素对应的象是否都是不同的(单射不一定是满射。)双射(一一映射)：既满且单的映射。例5设R是实数集，R是正实数集，任给 R的元素x,令映射 (x)= lg x 证明是R 到 R的双射。证明 由对数函数的定义域和函数值，知(x) = lgx是R 到 R的映射.(1) 任给R 的两个元素xi,x2且xiX2，由对数函数的严格单调性，有(x-) = gx1lg xc(x2), 这表明 (x)= lgx 是单射.(2) 任给R的元素y,则存在x =10y属于R ，则有(x)= lg x = lg10y
7、 = y，这表明(x) = lg x 是满射.因此，是R到R的双射.2n +1例6证明f (n)=|0n _ 0n 0,使f( n)=2 n+1与之对应;若f( n)为偶数，则有 n0,使f( n)= 2n与之对应。所以f( n)是满射所以f( n)是从Z到N的双射而 f (n)”2n +2|2n +3n _ 0x 0 (n Z )不是双射(一一映射)它是一个从整数集 Z到自然数集N的的单映射，但不是满映射(1没有对应)3.映射的运算=12 3 46 3 15 6 2 5求(1)-1(2)例7.设集合M = 1,2,3,4,5,6 , M上的置换_123456、_ 326145 ,解：(1)貯
8、4 =卩42 3 4 5 65 3 1 6 223456、2345 6、(2) =063125丿 A的映射 称为集合A上的代数运算。 代数运算还经常用 二，表示。代数体系：由代数运算和集合A构成的整体代称为代数体系。；、A, 1是具有一个代数运算的代数体系。代1,2 1是具有两个代数运算的代数体系。2 代数体系中的运算性质：A, 1是具有一个代数运算的代数体系。：A,；二是具有两个代数运算的代数体系。代数运算的主要性质有（1）结合律 若对任意a,b,cA，均有（a b） a （b c）（2）交换律 若对任意，均有a b a（3）左分配律 若对任意a, b,c A，均有a （b二c） = （a
9、b）二（a c）右分配律 若对任意a, b, c三A，均有(b二c) a = (b a)二(c a)例&设R是实数集，对 R中的任何两个元素 a和b,规定：a，b = a，b-a b 其中+ ,-,x是普通实数的加、减、乘法运算证明运算满足结合律.证明 a,b,cR,(a b) c = (a b _a b) c=a+bab+cQ+babjc=a b-a b e-a c-b c a b c=a +(b + cb: b,或 bv aIV. 自然数的乘法：对于每一对自然数 a与b,有且仅有一个自然数 ax b与之对应，且具有性质ax 1= a; ax b =ax b+aV. 乘法的性质乘法分配律：左分配律 cx (a+b) = cx a +c x b右分配律(a+b) x c= ax c + bx c ;乘法交换律:ax b= bx a五、数学归纳法1 第一.数
