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1、专业：数学与应用数学班级：傅里叶级数及其应用引言31 傅立叶级数的计算51.1 傅立叶级数的几何意义51.2 傅里叶级数的敛散性问题101.3 傅里叶级数的展开111.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法161.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质192 傅里叶级数的相关定理及其应用212.1 n元函数中值定理及其几何意义212.2 利用n元函数微分中值定理研究函数的性质283 微分中值定理在复数域上的推广323.1 复数域上的中值定理323.2 利用复数域中值定理研究函数性质36结论39致40参考文献41-word.zl-摘要为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥
2、其重要作用，在深刻理解和掌握教材微分中值定理的根底上，将微分中值定理在n元函数以及复数域推广及应用加以探讨首先根据一元函数微分中值定理的容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进展补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义接着通过比照一元函数与二元函数微分中值定理，给出了n元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数把n元函数转化为一
3、元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了n元函数微分中值定理的可用性最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性关键词：n元函数；微分中值定理；几何意义；复数域AbstractInordertounderstandandmakebetteruseofthedifferentialmeanvaluetheoremwhichcanplayalargestroleinapplication,weexplorethegeneralizationandtheapplicationoft
4、hedifferentialmeanvaluetheoreminn-variablefunctionsandplexfieldbasedontheprehensionandmasteryofthedifferentialmeanvaluetheoremintextbook.Atfirst,accordingtothedifferentialmeanvaluetheoremofone-variablefunction,wegivetheuniformofRolletheorem,Lagrangetheorem,Cauchymeanvaluetheorem,Taylormeanvaluetheor
5、em.Thenweplementthedifferentialmeanvaluetheoremoftwo-variablefunctionintextbookfollowingone-variablefunction,givetheexpressionsofRolletheorem,Cauchymeanvaluetheorem,Taylormeanvaluetheoremoftwo-variablefunction,constituteauxiliaryfunctionandgivetheproofprocedure,discussthegeometricsignificanceoftheRo
6、lletheoremandLagrangetheoremoftwo-variablefunction.Later,wegivetheexpressionsoftheRolletheorem,Lagrangetheorem,Cauchymeanvaluetheorem,Taylormeanvaltuheeoremofn-variablefunctionbyparingthedifferentialmeanvaluetheoremofone-variablefunctionandtwo-variablefunction.Similarly,byconstitutingauxiliaryfuncti
7、on,wechangen-variablefunctionintoone-variablefunctionandgivetheproofoffourtheorems.Checktheavailabilityofthedifferentialmeanvaluetheorembysometypicalexamples.Atlast,proceedfromthedifferentialmeanvaluetheoremoftwo-variablefunction,wegivetheexpressionsoRfolletheorem,Lagrangetheorem,Cauchymeanvaluetheo
8、reminplexfieldandchecktheavailabilityofthedifferentialmeanvaluetheorembysometypicalexamplesatthesametime.Keywords:n-variablefunction;differentialmeanvaluetheorem;geometricsignificance;plexfield引言微分中值定理是微分学的核心定理，它是联系函数与导数的桥梁，微分中值定理把函数在某个区间上的函数值与其导数值联系起来，应用局部状态的导数研究函数在区间上的“整体性态，它是研究函数性态的重要工具在大学四年的学习中，
9、已经掌握了一些有关一元微分中值定理的容，我们知道一元函数的罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分别建立了函数与一阶导数的关系和函数与高阶导数的关系在实际应用中，很多情况要突破一元微分学和平面领域这些局限，为了更好的利用微分学中值定理这个重要工具，需要把它的应用围加以扩展，使之能够在n元微分学即n1维空间以及复数域上得以使用本文将分三局部对微分中值定理进展推广，第一局部中，首先从数学分析教材入手，梳理教材中学过的有关一元函数微分中值定理的相关容，进而研究一元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之间的关系，试图找出统一的中值公式，通过这个公式全面认识这四个定理其次，
10、对照一元函数微分中值定理的分析研究，探讨二元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函数泰勒中值定理的形式及成立的条件，然后探讨定理之间的关系，找到统一的中值公式，透过这个公式再认识微分中值定理，接着仿照一元函数微分中值定理给出证明及其几何意义第二局部中，比照一元函数与二元函数微分中值定理，给出n元函数微分中值定理的成立条件和中值公式，同样通过构造“辅助函数证明定理成立，并自由想象多元函数微分中值定理的几何意义第三局部中，从二元函数微分中值定理入手，仿照二元函数中值定理的形式，探讨微分中值定理在复数域上的表述接着再通过构造“辅助函数给出定理证明1 傅立叶级数自然界中周期现象的数学描述就是
11、周期函数最简单的周期现象，如单摆的摆动等，都可以用正玄函数yasinwt或余弦函数yacoswt表示.但是，复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数和余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示因此，傅里叶级数就应运而生傅里叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦函数与余弦函数之和的一种解决问题的简便方法其主要是研究级数的敛散性问题，从而利用傅里叶级数解决其他生活中的很多相关问题傅里叶级数应用到我们生活中的各个角落，主要是在数字信号处理等方面有重要应用，为我们的生活无私的奉献着1.1 一元函数中值定理及其几何意义从“几何的角度来对待傅里叶级数，当
12、我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影到一系列由三角函数构成的坐标轴上考虑一个简单的二维平面的例子.如以下图所示，给定两个向量u和v，从u的末端出发作到v所在直线的垂线，得到一个跟v同向的新向量p这个过程就称作u到v所在直线的投影，得到的新向量p就是u沿v方向的分量。图中的系数c是p跟v的比例，也就是u在v轴上的“坐标.可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量u和v都是代数形式的，怎么用代数的方法求c？图片1：向量u到v所在直线的投影知道ucv这个向量是“正交于V的，用数学语言表达就是（ucv）Tv0.马上就可以得到C的表达式如下:T
13、uVTVV如以下图所示，现在引进一组正交基V1,V2,那么u可以展开成以下形式uc1Vlc2v2(2)V4i图片2：向量u在正交基Vi,V2上的展开从图上来看，式其实说的是可以把u“投影到V1和V2这两个坐标轴上,G和5就是u的新“坐标.问题是：怎么求G和C2呢？利用之前关于投影的讨论，可以直接得出答案，直接利用式就可以得到如下的表达式：TTuv1uv2c；c；Mv1v2v2如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴的“坐标，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把（1）式中的v换成新坐标轴就好了.这些东西跟傅里叶级数有什么关系？给定一个周期是21的周
14、期函数fx,它的傅里叶级数为：nx,.nxa0ancosbnsinn1ll其中系数表达式如下:1a0bnfxdxi2l1fnxfxcosdx1il,n1nx.fxsindx1 il，n从几何角度来看，fx可以用下面这组由无限多个三角函数包括常数组成的“正交基”来展开，1,cosx,sinxeossin2x,llll从几何投影的观点来对待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为容易理解投影的概念；同事，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想忘记都难了.还可以尝试着用不同的角度去对待同一个问题，这样做会发现更多的简便方法和问题.1.2傅里叶级数的敛散性问题定义1假设函数fx在区间a,b除有限个第一类剪
15、短点外皆连续，那么称函数fx在a,b逐段连续.假设函数fx与它的导函数fx都逐段连续，那么称函数fx在a,b逐段光滑.显然，逐段光滑的函数是可积的.1.2.1 相关定理定理1假设fx是n元函数f在凸区域R上以2为周期的在，逐段光滑的函数，那么函数fx的傅里叶级数在R收敛，其和函数式-fx0fx0,即x,有21 ,八-a0.-fx0fx0ancosnxbnsinnx.2 2n1nfX Xioxi,x20i 1n特别地，当n 1时，f,X10i 10 f X因为X X0 ,所以，fXoX Xof cX2,，XnoXnXXi,X2oX2,，XnoX X0X X0 .0,0.1 .即0 , cX0,X .XnXi0变为这就是一元函数的罗尔定理的公式.n元函数罗尔定理的几何意义：在n 1维空间里，闭区域D上有连续超曲面yfX10,
