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1、次函数图像及性质知识总结二次函数概念一般地，形如y = ax 2+ bx + c（ a ,b ,c是常数，a。0）的函数，叫做二次函数。定义域是全体实数，图像是抛物线解析式b、c 为0时 y = ax 2b 为0时 y = ax 2+ cb、C 不为0时 y = ax2+ bx + c图像的性质a 0开口向上.向上向上a 0时 y 有最小值X=0.时y最小值等于0X=0,时Y最小值等于c当x =-b时。y有最小值2 a4 ac - b 2.4 aa 0时开口向上x 0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0.当x -b时，y随x的增大而增2 a大a 0时，y随
2、x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0当x -旦时，y随x的增大而减2 a小图像画法利用配方法将二次函数y = ax2+ bx + C化为顶点式y = a（x-h）2+ k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0,c）、以及（0,c）关于对称轴对称的点（2 h，c ）、与x轴的交点（x ,0），（x ,0）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.12画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点八.1 t白z 2 E军斤弋勺R 支 H 象 F 多1.一
3、*般式：y = ax2+ bx + c 2.顶点式：y = a(x - h)2+ k 3.两根式：y = a(x -x )(x - x )2.平移将抛物线解析式转化成顶点式y = a(x- h)2+ k，确定其顶点坐标(h, k)；在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”y = ax2+ bx + c沿y轴平移:向上(下)平移m个单位，y = ax2+ bx + c变成y = ax 2+ bx + c + m (或 y = ax 2+ bx + c - m )y = ax2+ bx + c沿轴平移：向左(右)平移m个单位，y = ax2
4、+ bx + c变成y = a(x + m)2+ b(x + m)+ c (或 y = a(x - m)2+ b(x - m)+ c )二次函数y=ax 2及其图象一、填空题1 .形如的函数叫做二次函数，其中是目变量，a， b, c是且W0.2 .函数y=x2的图象叫做，对称轴是，顶点是.3 .抛物线y = ax2的顶点是，对称轴是.当a0时，抛物线的开口向;当a0时，在抛物线y=ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而，而在对称轴的右侧，y随x的增大而；函数y当x=时的值最.5 .当aB.*C.*D.内18 .对于抛物线y=ax2,下列说法中正确的是()A. a越大，抛物线开口越大B. a越小，
5、抛物线开口越大C.l a I越大，抛物线开口越大D.l a I越小，抛物线开口越大19下列说法中错误的是()A.在函数y = x2中，当x=0时y有最大值0B.在函数y=2x2中，当x0时y随x的增大而增大C.抛物线y=2x2, y = x2, y =_1%2中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=2x2的开口最大D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点三、解答题20 .函数 y=( m3) xm 23 m 一2为二次函数.(1)若其图象开口向上,求函数关系式；(2)若当x0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象.21 .抛物线y=ax2与直线y=2x3
6、交于点A(1, b).(1)求a, b的值；(2)求抛物线y=ax2与直线y =2的两个交点B, C的坐标(B点在。点右侧)；(3)求4OBC的面积.22 .已知抛物线y=ax2经过点A(2,1).(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3)求4OAB的面积；(4)抛物线上是否存在点。，使ABC的面积等于 OAB面积的一半，若存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.1. y=ax2+bx+c(a=0), x，常数，a.2.抛物线，y 轴，(0,0).3.(0,0), y轴，上，下.4.减小，增大，x=0,小.5 .增大，减小，x=0,大.6 .(1)-1
7、,43,0.(2)?,0,0,11(3)2,5,-10,(4)-3,0,-6.7 .越小,越大.8 .(1)D,(2)C,(3)A,(4)B,(5)F,(6)E.9 .(1)向下，(2)y 轴.(3)(0,0).(4)减小.(5)=0(6)=0,大，0.10 .略.11 .(1)、；、.(2)；.(3)、；.(4)，0；，0.12 .(1)a=0,(2)a =0且 b=0,(3)a=c=0且 b=0.13 . y=4x2；(0,0)； x=0；向上.14 .(1)2； y=2x2；抛物线；一、二，(2)0； y =2x；直线；二、四.15 .2或1；1；2.16 .C、B、A.17.C.18.
8、D.19.C.20. (1)m=4,y=x2；(2)m=1,y=4x2.21. (1)a =1, b =1；(2) B(v2,-2). C(八2,-2);(3) S OBC =2x/2 .122. (1) y =4x2；(2)B(2,1)；(3)S2；1-111一.、一(4)设。点的坐标为(m，一m 2),则义4义I m 2-11=义2.则得m =6或m =+%242423-3一1一1。点的坐标为(J6,-),(-v,6-),(2,-),(-x2-).乙乙乙乙二次函数y=a (xh )2+k及其图象一、填空题1 .已知a=0,(1)抛物线y=ax2的顶点坐标为，对称轴为.(2)抛物线y=ax2
9、+c的顶点坐标为，对称轴为.(3)抛物线y=a(xm)2的顶点坐标为，对称轴为.2 .若函数y =(m-2)x2m4m+i是二次函数，则m=.3 .抛物线y=2x2的顶点，坐标为，对称轴是.当x 时，y随x增大而减小；当x 时，y随x增大而增大；当x=时，y有最值是4 .抛物线y=2x2的开口方向是，它的形状与y=2x2的形状，它的顶点坐标是，对称轴是5 .抛物线y=2x2+3的顶点坐标为，对称轴为.当x 时，y随x的增大而减小；当x=时，y有最值是，它可以由抛物线y=2x2向平移个单位得到6 .抛物线y=3(x-2)2的开口方向是，顶点坐标为，对称轴是.当 x 时，y随x的增大而增大；当x=
10、时，y有最值是，它可以由抛物线y=3x2向平移个单位得到.二、选择题7 .要得到抛物线y =1(x -4)2，可将抛物线y =1 x2()33A.向上平移4个单位8 .向下平移4个单位9 .向右平移4个单位10 向左平移4个单位8下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是()A. y =2x2与 y =3x2B. y =x2+2与 y =2x2+22C. y=2x2与 y=x2+2D. y=x2与 y=x229 .顶点为(一5,0),且开口方向、形状与函数y =-1 x2的图象相同的抛物线是()3B. y = -x2 -53D- y = 3(x + 5)2A y =3(x -5)2C y =-3(x +5)2三、解答题10 .在同一坐标系中画出函数y =1 x2+3,y =1 x2-3和y =1 x2的图象，并说明y 1, y2122232的图象与函数y =1 x2的图象的关系.211 .在同一坐标系中，画出函数y 1=2x2, y2=2(x
