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1、2016暑假作业（七）全等三角形解答题答案参考答案与试题解析一.解答题（共28小题）1. （ 2012?邵阳）如图所示，AC BD相交于点 O,且OA=OCOB=OD求证： AD/ BC.【解答】证明： AC BD交于点O,/ AOD2 COB在厶AOD和厶COB中， AODA COB（ SAS/ A=Z C, AD/ BC.2. （2016?重庆校级模拟） 如图，A、C F、B在同一直线上，AC=BF AE=BD 且 AE/ BD 求证：EF/ CD/ A=Z B,/ AC=BF AC+CF=BF+CF BC=AF在厶EAF和厶DBC中, EAFA DBC（ SAS,/ EFA=/ BCD
2、EF/ CD3. （2015?于洪区一模）如图 1,在厶ABC中，/ ACB为锐角，点 D为射线BC上一点，连接 AD,以AD为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC / BAC=90 , 当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段CF BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为 相等 ； 当点D在线段BC的延长线上时，如图 3,中的结论是否仍然成立，并 说明理由；（2） 如果ABAQ / BAC是锐角，点 D在线段BC上，当/ ACB满足什么 条件时，CF丄BC （点C、F不重合），并说明理由.【解答】证明： AE/ BD,【解答】证明：（1 正方
3、形ADE F中，AD=AF Z BAC玄 DAF=90 , Z BAD玄 CAF,又 AB=AQ DAA FAQCF=BQ Z B=/ACEZ ACB4/ACF=90 ,即 CF BD.当点D在BC的延长线上时的结论仍成立.由正方形 ADEF得AD=AE Z DAF=90度. Z BAC=90 ,Z DAFN BAGZ DAB玄 FAQ又 AB=AQ DAA FAQCF=BQ Z ACFN ABD Z BAC=90 , AB=AQ Z ABC=45 , Z ACF=45 , Z BCFN ACB4/ ACF=90度.即CF丄BD(2)当Z ACB=45 时，CFXBD (如图).理由：过点 A
4、作AGLAC交CB的延长线于点 G,贝U Z GAC=90 , Z ACB=45 , Z AGC=90 - Z ACR Z AGC=90 - 45 =45 ,Z ACB2AGO45 , AC=AQ/DAGMFAC（同角的余角相等），AD=AF? A GABA CAEZ ACFNAGO45 ,Z BCF ACB+Z ACF=45 +45 =90 ,即 CF丄 BC.4. （2014?南京）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“ SAS、“ASA、“AAS、“SSS ）和直角三角形全等的判定方法（即“ Hl）后，我们继续对“两个三角形 满足两边和其中一边的对角对应相等的情形进行研究.【初步思
5、考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在厶 ABC和 DEF中，AODF BC=EF?Z B=Z E,然后，对/ B进行分类，可分为/ B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】在厶 CBGn FEH 中, CBGA FEH( AAS, CG=FH在 Rt ACG和 Rt DFH 中， Rt ACG2Rt DFH( HL), / A=/ D,在厶ABC和厶DEF中， ABCA DEF(AAS；(3) 解：如图， DEF和厶ABC不全等；(4) 解：若/ B/ 人，则厶 ABCA DEF.故答案为：(1) HL; ( 4)/ B/ A.第一种情况：当/ B是直角时， AB3A DEF.(
6、1) 如图，在厶 ABC 和厶 DEF AC=DFBC=EF/ B=Z E=90 ,根据 HL , 可以知道 Rt ABC Rt DEF第二种情况：当/ B是钝角时， ABC DEF(2) 如图，在 ABC 和厶 DEF AC=DF BC=EF / B=Z E,且/ B、/ E都是钝角，求证： ABCA DEF第三种情况：当/ B是锐角时， ABC和厶DEF不一定全等.(3) 在厶 ABC和厶 DEF AC=DF BC=EF / B=/ E,且/ B、/ E 都是锐角，请你用尺规在图中作出 DEF使厶DEF和厶ABC不全等.(不写作法，保 留作图痕迹)(4) / B还要满足什么条件，就可以使
7、ABCA DEF请直接写出结论：在 ABC和 DEF 中，AC=DF BC=EF / B=/ E ,且/ B / E 都是锐角，若_/B/ A ,则厶 ABCA DEF.【解答】(1)解：HL;(2)证明：如图，过点 C作CGL AB交AB的延长线于 G,过点F作FH丄DE交DE的延长线于H,/ ABC=/ DEF,且/ ABC / DEF都是钝角， 180-/ ABC=180 -/ DEF,即/ CBG/ FEH,5. (2013?河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/ C=9C , / B=/ E=30 .(1)操作发现如图2,固定 ABC使厶DEC绕点C旋
8、转，当点D恰好落在 AB边上时，填空：又 tZ CDEZ BAC=60 , Z ACDZ CDE DE/ AC; Z ACD=60 ,(2) 猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1 )中Si与S2的数 量关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC和厶AEC中BG CE边上的高， 请你证明小明的猜想.(3) 拓展探究已知/ ABC=60，点 D是角平分线上一点，BD=CD=4 DE/ AB交BC于点E(如图4).若在射线 BA上存在点F,使SadcSbde,请直接写出相应的 BF 的长. 线段DE与 AC的位置关系是 DE/ AC ; 设 BDC的面积为Si, AEC的面积为
9、3,贝U Si与S2的数量关系是Si=S2.【解答】解：(1) DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上, AC=CD/ BAC=90 -Z B=90- 30 =60, ACD是等边三角形， tZ B=30,Z C=9C , CD=AC=AB BD=AD=AC根据等边三角形的性质， ACD的边AC AD上的高相等， BDC勺面积和 AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)即 Sl=S2；故答案为：DE/ AC; Si=S2;(2)如图， DEC是由厶ABC绕点C旋转得到， BC=CE AC=CDtZ ACN-Z BCN=90 , Z DCM-Z BCN=180 - 90 =90, Z ACN
10、Z DCIMt在人。“和厶DCM中, ACNm DCM( AAS, AN=DM BDC勺面积和 AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)即 Si=S2；点 F2也是所求的点，6. (20I3?烟台)已知，点P是直角三角形 ABC斜边AB上一动点(不与A, B重合)，分别过A, B向直线CP作垂线，垂足分别为 E, F, Q为斜边AB 的中点.(1) 如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE/ BF , QE与 QF的数量关系式 QE=QF ;(2) 如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断 QE与QF的数 量关系，并给予证明；(3) 如图3，当点P在线段BA (或
11、AB)的延长线上时，此时(2)中的结 论是否成立请画出图形并给予证明.(3)如图，过点 D作DF/ BE,易求四边形 BEDF是菱形, 所以BE=DF,且BE DF上的高相等，此时 Sadcf=SbdE过点D作DF2丄BD/ ABC=60 , FiD/ BE,/ F2FiD=Z ABC=60 ,/ BFi=DF，/ FiBD=/ ABC=30，/ F2DB=90 ,/ FiDFf/ ABC=60 , DFF2是等边三角形，-DFi=DF?, BD=CD / ABC=60，点 D是角平分线上一点， / DBC/ DCB软 60 =30, / CDF=180-Z BCD=180 - 30 =150
12、,/ CDF=360- 150- 60 =150, / CDF=/ CDF,在 CDF和厶CDE中，/ ABC=60，点D是角平分线上一点，DE/ AB, / DBC/ BDE玄 ABD= 60 =30,又 BD=4 BE= 4 十 cos30 =2 十=, BFi=, BE=BFi+FiF2=+=,故BF的长为或. CDFBA CDF ( SAS,【解答】解：(1) AE/ BF, QE=QF理由是：如图1,v Q为AB中点， AQ=BQ BF丄 CP, A且 CP, BF/AE, Z BFQ=ZAEQ=90 ,在ABFQ和AAEQ中 BF(A AEQ( AAS , QE=QF故答案为：AE
13、/ BF; QE=QF(2) QE=QF证明：如图2,延长FQ交AE于D,Q为AB中点， AQ=BQ BF丄 CP, A且 CP,BF/ AE, Z QAD2 FBQ在厶FBQ和ADAQ中 FB(A DAQ( ASA ,- QF=QQ AE丄 CP, EQ是直角三角形DEF斜边上的中线,- QE=QF=QD即 QE=QF(3) (2)中的结论仍然成立，证明：如图3,延长EQ FB交于D,Q为AB中点， AQ=BQ BFXCP, AE丄 CP, BF/ AE, 仁/ D,在 AACJE 和BQD 中，A AQA BQD(AAS,- QE=QQ BF 丄 CP,FQ是斜边DE上的中线， QE=QF7. （2013?涪陵区校级模拟）如图， ADE的顶点D在AABC的BC边上， 且/ ABDNADB Z BAD/ CA AC=AE求证：BC=DE【解答】证明：/ ABDNADRAB=AQ/ BAD玄 CAEZ BAD4/ DAC2 CAEV DAQ即 Z BAC玄 DAE在 ABC 和 AADE 中，AABCA ADE（SA, BC=DE& （2013?庐阳区校级模拟） 如图，将两个全等的直角三角形 ABD AACE 拼在一起（图1）. AABD不动，（1）若将AACE绕点A逆时针旋转
