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1、5.5 多元线性回归中的假设检验和预测线性回归的显著性检验问题：对于模型（5.4-3），要检验自变量与因变量之间是否显著地具有这种线性联系，做法如下（1）在模型上作假设由组观察值对假设是否成立进行判断，接受则认为，即与无关，线性回归不显著；拒绝则认为线性回归显著。（2）找出检验统计量先做平方和分解总离差平方和为，（即），取（经验回归平面上对应于第i次观测点处的y值），则其中步骤（*）的推导：由（5.4-7）式得 从而（*）前的各项均为0. 于是 记称为剩余（残差）平方和；称为回归平方和。则有平方和分解 其中是由引起的；是由线性回归引起的。构造成立时的检验统计量由定理4.4.2知， 其中为回归参
2、数的个数。当成立时，于是且相互独立，. 故有由抽样分布定理知 由（5.5-3）、（5.5-4）、（5.5-5）及分解定理知 且相互独立，则其中，. 即 以为检验统计量。值的计算，故，从而（3）给定，确定拒绝域无论回归显著与否，不变；回归越显著时，越小，就越大，从而也就越大。故应在值偏大时拒绝，认为回归显著。即：给定显著水平后，取拒绝域为 （4）列方差分析表来源平方和自由度均方离差F显著性回归剩余总和pn-p-1n-1例5.5-1（续例5.4-1）取，检验线性回归的显著性。解：假设MATLAB程序x1=152 183 171 165 158 161 149 158 170 153 164 190
3、 185;x2=50 20 20 30 30 50 60 50 40 55 40 40 20;x=ones(1,13);x1;x2;y=120 141 124 126 117 125 123 125 132 123 132 155 147;b=inv(x*x)*x*y；qt=(13-1)*var(y)qs=(y-x*b)*(y-x*b)qh=qt-qsn=13;p=2;f=(qh/p)/(qs/(n-p-1)qt = 1512qs = 81.4301qh = 1.4306e+003f = 87.8404查表知拒绝域的临界值，故有来源平方和自由度均方离差F显著性回归剩余总和P=2n-p-1=10
4、n-1=12显著即在人的身高相等的条件下，其血压与体重，年龄得线性回归显著。回归系数的显著性检验 问题：当拒绝时，认为回归显著，即回归系数不全为0。那么是否每个自变量都对起作用？因此需要检验是否显著为0.（1）在模型上作假设（2）寻找检验统计量由定理5.4.3知其中 是矩阵的第个主对角元素。当成立时， 以为检验统计量。（3）给定，确定拒绝域当成立时，其估计值应该很接近0，故取拒绝域为 注：要对进行次检验。回归系数检验表j变量显著性12p例5.5.2（续例5.5.1）MATLAB程序c=inv(x*x);for j=1:2t(j)=b(j)/sqrt(qs/(n-p-1)*c(j+1,j+1);
5、endtt = -718.1760 12.8380j变量显著性121.06830.4002-718.1760 12.8380显著显著即在人的身高相等的条件下，体重与年龄均对血压起作用。多重相关系数的另一表达式故有说明：越接近1，回归引起的离差平方和占总离差平方和的比率越大，表示回归模型与子样（试验值）拟合得好,即模型合理。（事实上，上述matlab命令的使用，只是为了便于说明多元线性回归的思想方法，如果只为求解一个具体问题，使用regress命令会更高效。例5.5.1的matlab求解 x1=152 183 171 165 158 161 149 158 170 153 164 190 185
6、; x2=50 20 20 30 30 50 60 50 40 55 40 40 20; x=ones(1,13);x1;x2; y=120 141 124 126 117 125 123 125 132 123 132 155 147; b,bint,e,eint,stats=regress(y,x)b = -62.9634 1.0683 0.4002bint = -100.8412 -25.0855 0.8729 1.2636 0.2148 0.5856e = 0.5741 0.4640 -3.7167 0.6908 -0.8312 -4.0404 2.7768 -0.8355 -2.65
7、27 0.5048 3.7569 -1.0183 4.3274eint = -5.5068 6.6550 -5.3336 6.2615 -8.6643 1.2309 -5.4431 6.8248 -6.4259 4.7634 -9.4998 1.4190 -2.5255 8.0791 -7.0515 5.3804 -8.7044 3.3990 -5.4962 6.5057 -2.0378 9.5517 -4.8938 2.8571 -0.4144 9.0693stats = 0.9461 87.8404 0.0000 8.1430即：多重相关系数r平方为0.9461，检验统计量的值F=87.8
8、404，回归的显著性检验的p值为0.0000，的无偏估计值为8.1430. 故由p值知应认为回归显著；回归系数为b =-62.9634 1.0683 0.4002，从而y=-62.9634+1.0683x1+0.4002x2bint的各个分量是各回归系数的置信区间(借此可以判断回归系数的显著性)；e的各个分量是各次误差的估计值；eint的各个分量是各次误差的置信区间。（在旧版本中, stats只返回前三个值. 若要求，只要对e的各个分量求平方和： Qmin=sum(e.2)Qmin = 81.4301若要求，其中是数据阵 x 的行数，是x 的列数，则可以n,m=size(x);sigma2=Q
9、min/(n-m)sigma2 = 8.1430）多元线性回归中的预测问题：当时，求的点估计（点预测）和区间估计（区间预测）。（1）点预测在处，取，。即经验回归平面上对应于点处的y值。（2）区间预测定理5.5.1： 在处，记，则 以此为枢轴量，并取 则可推出的置信概率为的预测区间是： 例5.5.3（续例5.5.2） 当时，求血压的点预测和区间预测。解：延续前面使用regress命令的程序，可有如下结果x0=1 160 25;y0=x0*b %求y0的点估计y0 = 117.9667 alpha=0.05; n,m=size(x); t0=tinv(1-alpha/2,n-m);%求t分布的/2上侧分位数 d0=sqrt(1+x0* inv(x*x)*x0); s=sqrt(sum(e.2)/(n-m); %求S剩 L= t0*s*d0; y0int=y0-L y0+L %求y0的区间估计y0int = 110.4965 125.4369 即：的点预测为117.9667；区间预测（110.4965 125.4369）.
