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1、XX师X学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院系数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日.word.zl.果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表学生诚信承诺书本人X重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进展的研究工作及取得的研究成或撰写的研究成果，也不包含为获得XX师X学院或其他教育机构的学位或证书所使用过.所有合作者对本研究所做的任何奉献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意作者签名：日期:导师签名：日期:院长签名：日期:论文使用授权说明论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文
2、的全部或局部内容，可以采本人完全了解XX师X学院有关保存、使用学位论文的规定，即：学校有权保存送交用影印、缩印或其他复制手段保存论文.作者签名：导师签名：日期:向量组线性相关性的判定方法XX师X学院数学与统计学院XXXX455002摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的根底上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的假设干方法.关键词：向量组线性相关线性无关判定方法1引言
3、线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法.1.1 n维向量的定义一维、二维、三维向量，推广到n维向量定义：n个有次序的数8皿,an所组成白数组3包,an）或（a1包,an）T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n个分量第i个数ai称为第i个分量显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母，等表示分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量1.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规那么进展运算特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性
4、运算.向量的线性运算满足8条运算律.全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间或线性空间.例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间.3 .向量组线性相关性的定义3.1 向量组有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组例如一个mn矩阵对应一个m维列向量组也对应一个n维行向量组包ain)(a2i a22 a2n)(ami am2amn)a11a12 a1na11a12a1na21a22而仁二 a21F 4 Ha22a2nF/I ，! klFR-iFn-lFit, ,F
5、q F, PIPam1am2 i1amnam1am2amn3.2 向量组的线性相关性的定义3.2.1 线性组合与线性表示设A：a1,a2,am是一向量组表达式k1a1k2a2kmam称为向量组A的一个线性组合其中匕k2,km是一组实数称为这个线性组合的系数如果向量b是向量组A的线性组合b1a2a2mam那么称向量b能由向量组A线性表示例如，任一n维向量，都可以由n维基向量线性表示.例1.设向量组61,0,1T,b21,1,1T,b33,1,1T,b45,3,1T,试判断b4是否可由bi，b2，b3线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式TT k1k2 3k3,k 2 k3, k1 k2k3解
6、设一组数k1k2,k3,使b4k1b|k2b2k3b3,即有5,3,1k1k23k35,k2k33,k1k2k31.该方程组的一个解为k12,k23K0.于是b42bl3b2,即b,由”上2凤线性表示.定理1向量b能由向量组A：a1,a2,am线性表示的充分必要条件是矩阵A(a1,a2,am)与矩阵B(a1,a2,am,b)的秩相等即R(A)R(B)3.2.2 向量组线性相关的定义定义1向量组A:a1,a2,am(m2)线性相关在向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.定义2给定向量组A:2d,am,m个数K,km,构造kia1k2a2kmam0,*如果存在不全为零的数ki,k2,
7、km,使*式成立，称向量组A是线性相关的否那么称它线性无关.这两个定义是等价的.证明如下：如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向量线性表示即有1,2,，m1,使am1a12a2m1am1,2a2m1am1(1)am0.因为1不全为0所以向量组A线性相关反过来，如果向量组A线性相关，那么有卜向k2a2Kam0,)(k2 a2kmam),其中k1,k2,km不全为0不妨设k10于是a1(九即a1能由a2，,am线性表示例2判断向量组1(2,1,3,1),2(4,2,5,4),3(2,1,4,1)是否线性相关.解：可取1,2,3为未知数，建立以下方程式1122330,看它是否有1,2
8、,3的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为以下方程组2142230,12230,3152430,14230.前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故1,2,3线性相关.特别的一组解，可取为(1,2,3)(3,1,1),即31230或3312.定理2向量组4启2,am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(4启2,am)的秩小于向量个数m向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m这是因为向量组A:优包,am线性相关“为x?a2Xmam0即Ax0有非零解R(A)m.向量组为包,am线性无关R(a1,a2
9、,am)m.例3证明n维单位坐标向量组目(1,0，,0)T,e2(0,1，,0)T,en(0,0，,1)T线性无关.证明我们直接利用定义证明.如果存在一组数k2,kn,使得kiGk?e2knen0,根据向量线性运算的定义可以得到(kl,k2,M(0,0，,0)T,从而kik2kn0.所以ee,en是线性无关的.另证我们利用定理，设向量组e,e2,en构成的矩阵为Ie,e2,en),I是n阶单位矩阵.显然有R(I)n,即R(I)等于向量组中向量的个数，所以由定理2知向量组I是线性无关的.例4向量4(1,1,1)T,a2(0,2,5)T,a3(2,4,7)T讨论向量组日牝a及向量组ai,a2的线性
10、相关性.解对矩阵(8启2启3)施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵(8启2启3)及(a1,a2)的秩，再利用定理2就可以得出结论.易知R(a1,a2,a3)23,向量组8包包线性相关；1为皿)2,向量组为包线性无关.4 .向量组线性相关性的性质1含零向量的向量组必线性相关线性无关的向量组中一定不含零向量.2一个向量线性相关0.一个向量线性无关0.(3)两个非零向量1,2线性相关1k2.两个向量1,2线性无关它们不成比例.(4)向量组有一局部线性相关，那么全体线性相关.向量组全体线性无关，那么每一局部线性无关.假设向量组A:a1,a2,am线性相关那么向量组B:日仇,am,am
11、1也线性相关反之假设向量组B线性无关那么向量组A也线性无关结论可表达为一个向量组假设有线性相关的局部组那么该向量组线性相关一个向量组假设线性无关那么它的任何局部组都线性无关性质4说明：这是因为记A包,am)B包,am，ami)有R(B)R(A)1.假设向量组A线性相关那么有R(A)m,从而R(B)R(A)1m1.因此向量组B线性相关(5)个数大于维数时，必线性相关.个数等于维数时，看行列式.m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关特别地n1个n维向量一定线性相关这是因为m个n维向量a1,a2，,am构成矩阵Anm(a1,a2，,am),有R(A)n.假设nm那么R(A)nm
12、,故m个向量a1,a2，,am线性相关(6)设向量组人：现包，,am线性无关而向量组B:a包,am,b线性相关那么向量b必能由向量组A线性表示且表示式是唯一的这是因为记A包,am)Bd,am,b)有mR(A)R(B)m1,即有R(B)R(A)m.因此方程组有唯一解(a1,a2，,am)xb即向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一5 .向量组线性相关性的判定方法5.1 定义法给定向量组A：&岛e3,am,如果存在不全为零的数k1,k2,区,km,使得Ka1k2a2kmam0成立，那么称向量组A是线性相关的.否那么，如果不存在不全为零的数Kkk,km,使得Kak2a2kmam0成立，也就是说，只有
13、当Kkk,，km全部为0时，k1alk2a2kmam0才成立，那么称向量组A是线性无关的.例5设向量组a12e3线性无关，判断向量组bia1a2,b2a2a3,0a3a1的线性相关性.解设一组数匕*2*3,使他k2b2k3b30,那么有K(aia?)k2(a2 a3)k3(a3 a1)0,(kik3)ai (kik2)a2(k2k3)a30.因为向量组ai,a2,a3线性无关，所以kik30,k1k20,k2k30.该方程组的系数行列式D20,故方程组只有零解k1k2k30,所以向量组h也上线性无关.例6判断向量组匕1,0,1T,b21,1,1T,b33,1,1T,b4531T的线性相关性.解
14、设一组数k1,k2,k3,k4,使k1blk2b2k3b3k4b40,比拟上式两端向量的对应分量，可得齐次线性方程组k1k23k35k40,k2k33k40,k1k2k3k40.该方程组的一个非零解为k12,k23,k30,k41,故向量组卜力2也此线性相关.5.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定定理3向量组A：a,a2,a3,am线性相关的充要条件是向量组A中至少有一个向量可以由其余m1个向量线性表示.定理4向量组a1,a2,am线性无关，而入色,am,线性相关可由a1,a2,am线性表示且表达方式唯一.定理5假设向量组,am有一局部向量组线性相关向量组司0,am线性相关.与此等价的一个说法为：向量组劣e2,am线性无关向量组&12,am的任一局部向量组线性无关.例71,2,3线性无关，2,3,4线性相关，问：14能否由1,2,3线性表示？21能否由2,3,4线性表示？解1由1,2,3线性无关2,3线性无关，又由2,3,4线性相关4能由2, 3线性表示且表达方式唯一，所以存在数k2,k
