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1、初中数学竞赛辅导资料（20）代数恒等式的证明甲内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。具体证法一般有如下几种1从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。2把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。3证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边右边0可得左边右边。4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，乙例题例1求证：3 n+22n225 n+23 n2 n10（5 n+1+3 n2 n-1） 证明：左边2
2、55 n+1（3 n+2+3 n）（2 n+22 n） 105 n+13 n(32+1)2 n-1(232)10（5 n+1+3 n2 n-1）=右边又证：左边25 n+23 n（321）2 n(22+1) 25 n+2103 n52 n右边105 n+1+103 n102 n-1 25 n+2103 n52 n左边右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：a3+b3+c33abc（a+b+c）（a2+b2+c2abacbc）(见19例1):a+b+c=0a3+b3+c33abc0即a3+b3+c3=3abc又证：:a+b+c=0a=（b+c）两边立方 a3=（b3
3、+3b2c+3bc2+c3） 移项 a3b3+c33bc(b+c)3abc再证：由己知a=bc 代入左边,得（bc）3+ b3+c3（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3 3bc(b+c)=3bc(a)3abc例3 己知a+,abc求证：a2b2c2=1证明：由己知a-b= bc= b-c= ca= 同理ab= abbcca1即a2b2c2=1例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b24ac=0 证明：设:ax2+bx+c（mx+n）2 ， m,n是常数那么:ax2+bx+cm2x2+2mnx+n2根据恒等式的性质得: b24ac（2mn）24m2n2
4、=0丙练习201 求证： (a+b+c)2+(a+b-c)2(a-b-c)2(a-b-c)28ab （x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 (x-2y)x3(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3 3 n+2+5 n+23 n5 n=24(5 n+3 n-1) a5n+a n+1=(a3 na2 n+1)(a2 n+a n+1)2.己知：a2+b2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0 求证：a3+a2c+b2c+b3=abc a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a24.己知：a2=a+1 求证：a5=5a+35.己知：xyz=0 求证： x3+8y3=z36x
5、yz6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：ab=bc 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc0，ab+bc=2ac 求证：9己知： 求证：x+y+z=010.求证：（2x3）（2x+1）(x21)1是一个完全平方式11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证：ad=bc丙练习20参考答案：1. 左边5 n(5 2-1)+3 n1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右边有3n-12. 左边右边（a-b）23. 左边右边（a2+b2-c2）2-4a2b2=4. a5=a2a2a,用a2=a+1代入5. 用z=x+2y代入右边6. 用已知的（左右）27. 用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8. 在已知的等式两边都除以abc9. 设三个比的比值为k,10. (2x2-x-2)2 11. 用待定系数法
