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1、高一数学学案 函数的奇偶性和周期性 【教学目的】1 了解函数的奇偶性与周期性的定义；2 能运用函数的奇偶性与周期性解决有关函数问题；【基本知识】1、 相关概念：1）对于函数f(x)中定义域中的任意x，恒有，则f(x)为奇函数； 对于函数f(x)中定义域中的任意x，恒有，则f(x)为偶函数；2）若存在一个非零常数T，使函数f(x)中定义域中的任意x，恒有，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期；2、 有关结论：若，则是若,则是若，则是奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称若f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)=；（）若函数有两条对称轴x=a，x=b，则是周期函数，其周期为3、 注意点：
2、判断函数奇偶时，应先看定义域是否关于原点对称，后看f(x)与f(-x)关系【课前预习】1 如果定义在区间上的函数为奇函数，则=；2 若为奇函数，则实数；3 若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当x（，0）时，f(x) =_4 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是5 设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是A)是奇函数 B)是奇函数 C) 是偶函数 (D) 是偶函数【例题讲解】例1：判断下列函数的奇偶性（先看定义域，后看f(x)与f(-x)关系）1） 2）3）例2：设是上的奇函数，当时，则等于【变题】设是定义在实数集R上的函数，且满足
3、，如果，求例3：设是定义在上的奇函数，且，又当时，（1）证明：直线是函数图象的一条对称轴：（2）当时，求的解析式。【变题】设是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称，求证：是周期函数.【命题展望】1. （2020福建卷）已知是周期为2的奇函数，当时，设则( )（A）（B）（C）（D）2. （07全国）设，是定义在R上的函数，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）A充要条件 B充分不必要的条件C必要不充分的条件D既不充分也不必要的条件（07江西）设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为 A B0 C D5（07安徽）定义在R上的函数既是奇函数，又是周
4、期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为 A.0B.1C.3D.5 （07天津）在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数3. （2020安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则_。4. （2020全国卷I）已知函数，若为奇函数，则_。5. （2020上海春）已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时， .函数的奇偶性和周期性（作业）1、若是奇函数，则下列各点中，在曲线上的点是 ( ) A、B、C、D、2、下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的
5、是( )A、B、C、D、3、定义在区间(-,+)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间0,+)的图象与f(x)的图象重合.设ab0,给出下列不等式f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)g(b)-g(-a);(a)-f(-b)g(b)-g(-a),其中成立的是 ( )(A)与(B)与(C)与(D)与4、已知是定义在R上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为T,则_5、是定义在R上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是6、已知函数7、已知函数在R是奇函数，且当时，则时，的解析式为_8、定义在上的奇函数，则常数_,_9、判断下列函数的奇偶性1）2）10、已知，（1）判断的奇偶性；（2）证明：11、定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围.12、设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有. (I)设，求； (II)证明是周期函数.
