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1、目 录1 引言12 线性方程组的相关概念13 讨论线性方程组的数值解法23.1 高斯消元法解线性方程组23.1.1 高斯顺序消元法23.1.2 高斯列主元素消元法63.2 矩阵三角分解法解线性方程组93.2.1 直接三角分解法93.2.2 追赶法124 总结16参考文献17致谢18线性方程组的数值解法与比较摘要:本文给出了线性方程组数值解法的几种直接求解方法,探讨这些方法的主要思想,具体解法以及它们各自的特点,针对几种解法对于不同条件下的线性方程组的求解,进行了一定的分析,并对其加以比较,以此来促进对线性方程组数值解法的理解.关键词:线性方程组;高斯消元法;直接三角分法;追赶法 The num
2、erical solution and compared of linear equationsAbstract: This paper gives several direct solving methods of linear equations nume- rically, probing into the main ideas, the specific method and their respective conclu- sions.According to several solutions to different conditions of linear equations
3、of the solution, this paper analyzes and compares in order to promote the understanding of linear equations numerically.Key word: linear equations; Gaussian elimination; direct triangle points method; Chase-after method 1 引言线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组.在实际生活中,存在大量的解线性方程组的问题,很多数值方法到最后都会涉及到线性方程组的求解问题.它的数值解法
4、不仅在实际问题中起到重要的作用,而且在计算数学中更是占有重要的地位.针对我们所学习的现有的中小型线性方程组,直接法就可以直接简明的对其进行求解.我们所运用的求解线性方程组的直接法,通常包括高斯消元法中的高斯顺序消元法与高斯列主消元法,以及矩阵三角分解法中的直接三角分解法与追赶法.本文通过探讨这几种求解方法的思想,解法与结论,对其加以分析并进行了相应的比较. 2 线性方程组的相关概念一 线性方程组的一般形式含个方程,个未知量的线性方程组的一般形式为: 其中为未知量, 和为常数; 称为型线性方程组如果,则称方程组为齐次线性方程组如果存在,则称方程组为非齐次线性方程组例:型线性方程组的一般形式为:
5、其中每一个方程都表示平面上一条直线,一个型线性方程组中两直线在平面上的位置有下列三种情况:(1)两直线相交于一点,则交点就是方程组的唯一解； (2)平行,则该方程组无解；(3)重合,则直线上任何一个点都是方程组的解. 例:型齐次线性方程组的一般形式为: 其中每一个方程都表示一个以向量为法向量,过点的平面,其解是一个与平行.,均正交的向量.(1)若,不共面,则方程组只有零解；(2)若,共面但不共线,则垂直于 ,的向量均是解,这些解彼此平行；(3)若,共线,则以为法向量的平面是所有向量,都是解.即解向量组成一个平面. 定义1.1: 设有型线性方程组(I)和型线性方程组(II),如果(I)和(II)
6、的解向量集合相等,则称(I)和(II)为等价的线性方程组. 齐次线性方程组可以看成是非齐次线性方程组常数列均0的情形,因而对于非齐次线性方程适用的结论对齐次方程也是适用的. 3 讨论线性方程组的数值解法设有n元线性方程组 或 其中 设系行列式,则方程组有唯一解. 直接法解线性方程组:如果不计运算过程的舍入误差,经过有限次运算后可得到方程组的精确解的方法. 3.1 高斯消元法解线性方程组 3.1.1 高斯顺序消元法写出方程组的增广矩阵,并记, 若,则施行第一次消元:对计算 原增广矩阵被变换成: 将这一过程继续下去.第步的计算过程为若,则施行第一次消元: 对 计算 原增广矩阵被变换成 若所有的,则
7、经过n-1次消元得到: 以为增广矩阵的上三角线性方程组 与原方程组是同解方程组.回代过程就是由方程组的最后一个方程解出,然后通过逐步回代,依次求 . 具体算法为 例1 用顺序Gauss消去法解以下线性方程组 解:用增广矩阵表示法求解: 消元过程 回代过程 同解方程组为 程序为:#include #include #define N 4 /* N 为方程组系数矩阵的阶数 */int Gauss(float aNN,float bN) int i,j,k,flag=1; float t; for(i=0;iN-1;i+) if(aii=0) flag=0; break; else for(j=i+
8、1;jN;j+) /*消元过程开始*/ t=-aji/aii; bj=bj+t*bi; for(k=i;kN;k+) ajk=ajk+t*aik; return(flag); void zg_matric(float aNN,float bN) /* 输出增广矩阵 */ int i,j; for(i=0;iN;i+) for(j=0;j=0;i-) xi=bi; for(j=i+1;jN;j+) xi=xi-aij*xj; xi=xi/aii; for(i=0;iN;i+) /* 输出方程组的解 */ printf( x%d=%11.7fn,i+1,xi); ;运行结果截图为: 3.1.2 高
9、斯列主元素消元法引例 考虑用顺序Gauss消去法求解以下方程组,在运算中每次运算保留到小数点后四位. 消元后的同解方程组为 回代求解得 与准确解 相差很大.对此做改进所得结果为:对调过程 消元后的同解方程组为 回代求解得 与准确解 相差很大.由此,我们会发现对于这种用绝对值很小的数作除数,舍入的误差会增大,同时会严重影响计算结果的精度.因此,我们要选择绝对值最大的元素做主元素,可以避免消元时消元系数绝对值大于1(即避免放大舍入误差).也就是说,我们可以来用高斯列主消元法更精确的解此类线性方程组.高斯列主元消元法的主要过程如下: 1 消元过程 对 选主元 找, 使 若 , 则计算停止,若,则换行
10、 , 消元 对 计算 2 回代过程若, 则计算停止, ; 否则 对 例2 解方程组 四位有效数字精确解为 解:(1)顺序高斯消元法 四位有效数字精确解为 由上,高斯顺序消元法求解表明:所得结果会与我们的精确解相差较大,为避免这一误差,我们引进了高斯列主元消元法.(2)列主元素法 四位有效数字精确解为 由上,当增加选主元后,所得结果会与精确解相差较小,即运用高斯列主元消元法可以减小计算误差. 3.2 矩阵三角分解法解线性方程组高斯消元法实质上是对方程组进行等价变形,即是对系数矩阵施行初等变换,这些初等变换又可以用矩阵表示.矩阵的三角分解是高斯消元法的另一种表示方法,或者说是高斯消元法的变形.它在解线性方程组的直接法中起着重要的作用. 3.2.1 直接三角分解法 如果方程组的系数矩阵能分解成 其中是下三角矩阵,是上三角矩阵,这时方程组就可化为两个容易求解的三角形方程组 先由解出向量,再由解出向量,这就是原方程组的解. 若是单位下三角阵,则称相应的分解为 Doolittle分
