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1、禾U用圆类比有心圆锥曲线的性质类比是科学研究中常用的一种思维方法，是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同（相似）的推理尽管类比推理只是一个合情推理（即类比得到的结果未必正确），但因其具有创造性的特点，而被广泛应用于科学研究之中本文拟介绍一组“圆”与“有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）”的类比性质，以期抛砖引玉，激发起同学们的创造热情和类比发现意识例1.设AB是圆0的直径，P是圆0上一点，且PA,PB都存在非零斜率kpA,kpB，则kpAkpB二-1.请将该性质类比到有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上，写出一般的结论，并加以证明.解：类比可得：AB是过有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）
2、中心的弦，且pA,pB都存在非零斜率kpA，kpB，则kpAkpe-1（e为离心率）.以椭圆为例，设椭圆方程为：22Xy22=1a0,b0，点p（Xo,yo），A为，,则B-为，,点A、P在椭圆ab上:22222.22.21ababb2222222两式相减得：匹&=0,从而与MabxoXikpAy。Xo_Xiy。XoXi22y。22XoXib2ac22对于双曲线一2与=1，由上面的推导可知：kpAkpBab2a22ca2.2e1.a例2.设AB是圆O的弦,M是AB的中点，且AB,OM都存在非零斜率kABkoM-1.请将该性质类比到有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上，写出一般的结论，并加以证明解：类
3、比可得：AB是有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）的弦，p是AB的中点，且AB,Op都存在非零斜率kAB,kop，则kABkop=e-1（e为离心率）以椭圆为例，设AX1，y1，BX2,y2，则2222点AB在椭圆上：则乌卑=1,-yf-1.abab222222两式相减得：竺生+互工=0,从而營当abX7b2ABy2yiX2Ny2-yix2y2-yi22X2:2c2a二e2-1.22对于双曲线务-岂=1，同理可得上述结论ab评注:由例2可知斜率为k的有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）的平行弦的中点轨迹方程:2（e-1）x-ky=0（在曲线内的部分）,它是经过有心圆锥曲线中心的一条线段，利用这一结CAON1D
4、D1B1并分别取AB1、GD1的中点MN1，连接直线论可以解决下面的问题：利用尺规作图找出有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）的中心.解：如图（以椭圆为例），作两条平行直线分别交椭圆C于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN;又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1.B1和CD1，A1M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心.例3.我们知道，圆中直径所对的圆周角为直角，反之，作圆O两条互相垂直的弦PA、PB，则直线AB（为圆的直径）过圆心这一定点请将该性质类比到有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上，写出一般的结论，并加以证明22解：过椭圆与每=1（ab0）上一
5、点P（x,y0）作两条互相垂直的弦PA、PB，则弦ab（e2e2）AB过定点2冷，y0（e为离心率）.证明过程可参考文献1（注：原文有错,2-ee-2/22误，这里有修正，结论也更统一）同理，对于双曲线令-%=1（a=b），则弦AB过定点ab（22ee1厂FX0,er2y0丿.事实上，由例2可知，圆评注：显然，上述这一定点与我们圆中过圆心这一定点有点差别中两相互垂直的弦还可以做如下类比：例4.过有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上一点P（x0,y0）作两条弦PA、PB，且PA,PB都存在非零斜率kPA,kPB，满足kPAKpb=ei则弦AB过有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）的中心.证明：（以椭圆为例）设
6、直线I的方程为y=kx-m，椭圆方程为:1a0,b0，与椭圆的交点为A(xi,yj、B(X2,y2)，联立y二kxm2xL.a222222222(bak)x2akmxam-ab=0,yi22akmX1X222，b+akXi2J-ab222，baky-iy2二心为x2)2m二2mb2b2a2k2，y2二mk(xjx2)k2x1x2m2m2b2a2b2k2b2a2k2，kPAkPBy-y22y。X。_X22mb22y0yi_y-(yiy2)y河22X0XiX0-(XiX2)X0为X222222mb-abkXi22_b2+a2k22*2a2km*a2m2_a2b2Xb2a2k2Xb2a2k2_(b2
7、a2k2)y22mb2y0b2m2-a2b2k2(b2a2k2)x02a2kmx()a2m2-a2b2b2=2a2222.222.22222.22.即：(bak)(ay0bx0)2abm(y0-kx0)-ab(bak-2m)=022xy222222因为P(X0,y)在椭圆2=i上，故bX0ay0ab,从而ab22222mab(y0-矶)-2abm=0所以m=0,即直线y二kxm过椭圆中心例5.已知圆O:x2y2=a2上点M与点N关于x轴对称设点P是圆O上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与x轴交于点O为坐标原点，则OROS为定值.证明：如图，易证LNOS_RON,nOROSTONf=a
8、2.丁曰ONOS于是ORON类比到有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）可得：已知有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）C上点M与点N关于对称轴对称设点P是有心于占J八、R,S,O为坐标原点，贝UOROS为定值.（以焦点在x轴上的有心圆锥曲线为例,若点M与点N关于x轴对称，则定值OROS2=a；若点M与点N关于y轴对称，则定值OROS=b2).圆锥曲线（椭圆、双曲线）C上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与该对称轴交MXi,%,则NXi,-%.证明：以焦点在x轴上的椭圆为例设P（x0,y0）,则直线mp的方程为：y-y0=y(x-x0),X一Xi令y=0，得XrXiy-xyiy。yi同理：XsXiyxyi
9、yyi22-X0y12xiy0故XrXs22y0-yi(*)又点M与点P在椭圆上，故2Xo222ay。b22,X1代入（*）式，得:2ayib2丿22y0一22、ayb2丿2yi所以OROS=|XrXsha2.除了以上类比外，比如还可以类比圆X2y2二a2在点P(x0,y0)处的切线方程2Xy2XoXyy=a而得到有心圆锥曲线2=1在点P(x,y)处的切线方程为abXqXy0y笃役1；圆的相交弦定理、切割线定理都可以在有心圆锥曲线(椭圆、双曲线)中类ab比得到相应的结论，限于篇幅，本文不一一列举参考文献：.田彦武、徐艳芳圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质J.中学数学杂志(高中),2006.5.1 徐广华.圆与椭圆几何性质的类比探究J.中学数学研究，2008.2.
