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1、求函数解析式一、配凑法配凑法是一种常用的求函数解析式的方法，是根据同一函数的意义求函数解析式 的，如 f ( x +1) =2( x +1) +3 与 f ( x) =2 x +3 是同一函数.例 f ( x +1) =2 x +3, 求f ( x)表达式解：f ( x +1) =2( x +1 -1) +3f ( x +1) =2( x +1) -2 +3 f ( x +1) =2( x +1) +1 f ( x) =2 x +1例已知函数f ( x) =2 x -1, 求f ( x )的表达式.解：f ( x ) =2( x )2-1 f ( x) =2 x 2 -1( x 0)二、待定系
2、数法对于常见的函数类型，我们都先设出一般式，再通过待定系数的方法一一求解出 系数，从而得到函数表达式.一次函数： f ( x) =kx +b ( k 0)k反比例函数： f ( x ) = ( k 0)x二次函数： f ( x) =ax2+bx +c ( a 0)指数函数： f ( x ) =ax( a 0且a 1）对数函数： f ( x) =loga幂函数： f ( x ) =xax( a 0且a 1)例 f ( x )为一次函数，且满足f ( f ( x) =9 x +1, 求f（x ) 表达式. 解： 解 得 或 设f ( x) =kx +b, ( k 0) f ( f ( x ) =k
3、f ( x ) +b =k ( kx +b ) +b f ( f ( x ) =k2x +kb +b又 Q f ( f ( x) =9 x +1 k2x +kb +b =9 x +1k2 =9 kb +b =1k =3 k =-3 1 1b = b =- 4 21 1 f ( x) =3 x + 或f ( x ) =-3x -4 2例 f ( x )为二次函数 , f ( x ) + f ( x -1) =2 x 解：2+3, 求f ( x ) 表达式.设f ( x ) =ax2+bx +c ( a 0) f ( x -1) =a ( x -1)2+b ( x -1) +c f ( x) +
4、f ( x -1) =2 ax 2 +2(b -a ) x +a -b +2c又 Q f ( x) + f ( x -1) =2 x2+32a =2 a =1 2(b -a ) =0 解得b =1a -b +2c =33c = 2 f ( x) =x2+x +32例 f ( x )为对数函数且f (8) =3, 求f ( x ) 表达式. 解：设f ( x ) =log x ( a 0且a 1)aQ f (8) =3即 log 8 =3a a 3 =8 a3=23 a =2 f ( x) =log x2三、换元法换元法是初高中常用的一种方法，在求函数解析式时我们也可以用换元法，但在2 2 2
5、= 1 +( )用换元法时要注意自变量的取值范围的变化，所谓“换元必换线”. 例已知 f ( x -1) =2 x -1, 求 f ( x ) 表达式 .解：令 x -1 =t , 则t -1 x =(t +1)2 f (t ) =2(t +1) 2 -1(t -1) f (t ) =2t f (t ) =2t22+4t +2 -1(t -1) +4t +1(t -1) f (t ) =2 x 2 +4 x +1( x -1)例已知f (解：1 -x 1 -x 2) = , 求f ( x ) 表达式. 1 +x 1 +x 2令1- x1 +x=t x =1 -tt +1 f (t ) = f
6、( x ) =1 -t t +2t +1 -t 1 -( ) 2t +1 (t +1) 1 -t t 2 +2t +1 +t 22t +1 (t +1) 2 2 xx 2 +1+2t -14t 2t= =-2t +1 2t 2 +2 t 2 +1四、奇偶性法奇偶性是函数具有的一种对称性，若f ( -x) =-f ( x) 则称函数为奇函数，若f ( -x) = f ( x ) 则称函数为偶函数 . 利用奇偶性求求函数解析式主要是求分段函数 的解析式.例 f ( x )是 R 上的奇函数，当 x 0时， f ( x) =x 解：2-x , 求 f ( x)的表达式 . 当x 0 f ( -x)
7、=( -x) 2 -2 (-x) =x 2 +2 x 又 Q f ( x )为奇函数 f ( -x) =-f ( x ) =x2+2 x f ( x) =-x2-xx2-2x, x 0 f ( x) =-x2 -2 x, x 0时，-x0 f ( x) =x3 -2 x, x 0五、方程组法方程组法是通过替换，构造二元一次方程组，求解出 f ( x ) 表达式的一种方法. 例已知f ( -x) -2 f ( x) =2 x, 求f ( x ) 表达式.解：令 -x =x f ( x ) -2 f ( -x) =-2x f ( -x) -2 f ( x) =2 x消去f ( -x)得f ( x
8、) -2( -x) =-2x2f ( x ) =- x31 1例已知f ( ) -3 f ( x ) = ( x 0), 求f ( x )表达式. x x解： 消 去f ( )1令 =x , 则 x1f ( x) -3 f ( ) =xx 1 1f ( ) -3 f ( x ) =x x 11 xf ( x) -3 f ( ) =xx3 1 f ( x) =- - x8x 8六、赋值法赋值法主要是求抽象函数的解析式用的一种方法，看清函数的定义域，通过赋值， 巧妙地求出 f ( x) 表达式.例已知f ( x)是R上的函数，且f ( x +y ) -2 f ( x) =x 解：令x =-y =0 f (0) -2 f (0) =0 f (0) =0 令y =-x得2 -y 2+y ( x -3 y +5), 求f ( x )的表达式.f (0) -2 f ( x ) =-x(4 x +5) -2 f ( x) =-4x 2 -5 x f ( x) =2 x25+ x2
