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1、关于两个IMO试题的联系研究 安徽省太和县李兴小学 任迪慧 邮编 236635摘要：研究IMO试题的联系, 对指导高中数学奥林匹克竞赛有重要作用, 其目的可培养学生创造性思维能力.关键词：IMO试题 联系 高中数学奥林匹克竞赛 研究 创造性思维 文【1】给出两个IMO试题的证明, 经研究发现这两题有内在联系.现将研究结果献给读者, 以供读者研究. 定理1 设ABC的三边长、外接圆半经、内切圆半经、半周长和面积分别为a、b、c、R、r、p和S, 则 等号当且仅当三角形为正三角形时成立.证明 在ABC中, 易证cosA+cosB+cosC=1+ , 由余弦定理得 ,上式两边同乘2abc并整理得:.
2、 因为 , 所以 . 上式两边同除以2Rr并整理得 , 上式两边加上2并整理得. 由和可得 . 在ABC中, 易证,由上式可变为 . 在ABC中 易证, 由、可推得 . 等号当且仅当三角形为正三角形时成立.定理1中含有两个IMO试题, 分别是1961年第3届IMO-2题、1964年第6届IMO-2题. 故称定理1深刻揭示了两个IMO试题的联系. 由定理1很快推出一些新的三角形不等式, 下面供出几例, 请读者自证.推论1 推论2 推论3 推论4 定理2 设ABC的三边长、外接圆半经、内切圆半经、半周长和面积分别为a、b、c、R、r、p和S, 则 等号当且仅当三角形为正三角形时成立. 证明 在AB
3、C中, 易证 ， ， 因为 , 所以. 上式两边同乘得 , 在ABC中, 可证 , 由和可推得.上式整理得 . 在ABC中, 易证, , 从而可得 。 由和可得,上式整理得 . 在ABC中, 易证,上式变为 . 易证 , , 由、可推得 由和可推得到 等号当且仅当三角形为正三角形时成立 . 定理1我们称两个IMO试题的正向关系; 而定理2我们称两个IMO试题的逆向关系. 定理3 设ABC的三边长、外接圆圆半经、内切圆半经、半周长和面积分别为a、b、c、R、r、p和S, 则 等号当且仅当三角形为正三角形时成立 证明 在ABC中, 有 , 2 , 由和整理得 , 在ABC中, 有3 , 上式等价于
4、 . 由和可得 . 易证abc=2Rr(a+b+c) , 由和整理得 . 由整理得 由和整理得 由和可得易证从而得 易证从而得 等号当且仅当三角形为正三角形时成立. 定理4 设ABC的三边长、外接圆半经、内切圆半经、半周长和面积分别为a、b、c、R、r、p和S, 则 等号当且仅当三角形为正三角形时成立.证明 由两边同乘得 , 由和整理得 , 由和可推得 .等号当且仅当三角形为正三角形时成立. 继续研究下去，还可得有趣的三角形不等式，仅供几例，供读者练习。 1. 2 3 。 4 限于篇幅，其他诸例不再祥述。结束语：研究IMO试题的联系, 可培养学生创造性思维能力.参考文献：1 项昭义 国际奥赛试
5、题全解(M) 京华出版社 2007 P123 【2】 叶军 数学奥林比克教程【M】 湖南大学出版社 1999(456)3 叶军 数学奥林比克教程【M】 湖南大学出版社 1999(456) 联系电话 15556789787 作者简介： 任迪慧，男，生于1965年5月4日 ，毕业于安徽省教育学院数学系，本科学历，小学高级教师，安徽省太和县李兴小学。县教坛新星，省级骨干教师，阜阳市首批学科带头人。曾在中学数学教学、安徽教育、数学教学研究教育学文摘新教师教学等刊物发表论文十几篇，论文由一个三角形不等式联想到的获全国基础教育改革论文一等奖。曾聘为中国科学院学术委员会特约研究员。素质教育杂志编委，中国不等式研究协会理事,主攻方向 ， 不等式及中小学教育教学。邮编 236635 联系电话 15556789787 邮箱 ;
