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1、1 1 +i 1 -i2 1 +i (1 +i) 2i2 1 -i (1 -i) -2i1 +i3 +i7复数的常用化简式秒杀知识点公式 1： (1 +i)2=2i ， (1 -i)2=-2i ， 2 =(1 +i)(1 -i) 公式 2： =-i， =i ， =-i i 1 -i 1 +i这里只证明公式 2 中后两式【证明】： = = =i ； 1 -i (1 -i)(1 +i) 2= = =-i；1 +i (1 +i)(1 -i) 2记忆方法： 中分子中间为正，即等于 +i 1 -i1 -i1 +i中分子中间为正，即等于 -i秒杀思路分析复数简单代数运算是高考重要考点之一，也是高考试卷中最
2、基础题型如能熟练掌握化简公式，即可 避免出错，又能大大提高答卷速度，达到“秒杀”效果【示例 1】（2016 年天津卷文 9） i 是虚数单位，复数 z 满足 (1+i) z =2 ，则 z 的实部为 【示例 2】（2017 年新课标全国卷文 3）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）2A i(1 +i)B 1 -i【示例 3】（2014 年新课标全国卷）(1 +i)(1 -i)22C -1+i =（ ）D -1-iA1 +iB i2(1-i)C (1+i)2D i(1 +i)方法对比【例 1】（2017 年新课标全国卷理 1） =（ ）1 +iA1 +2iB 1 -2iC 2 +iD 2 -i【
3、例 2】（2017 年山东卷文 2）已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi =1 +i ，则 z2=（ ）A -2iB 2iC -2D 2【例 3】（2015 年湖南卷）已知(1 -i)z2=1 +i （ i 为虚数单位），则复数 z =（ ）A1 +iB 1 -iC -1+iD -1-i 2 1 -i2i1 +2i4 4 2 2i【例 4】（2011 年湖南卷）若 a， b R ， i 是虚数单位，且 (a +i)i =b +i ，则（ ）Aa =1b =1Ba =-1b =1Ca =1b =-1Da =-1b =-1秒杀训练【试题 1】 设 i 是虚数单位，则复数 i A -iB -
4、3i2- =（ ）iC iD 3i【试题 2】设复数 z 满足 (1-i) z =2i ，则 z =（ ）A -1+iB -1-iC 1 +iD1 -i【试题 3】 若复数 z =1 +i （ i 为虚数单位），z 是 z 的共轭复数，则 z 2 +z 2 的虚部为（ ）A 0B -1C iD -2【试题 4】 复数 ( )10 的值是（ ）1 +iA -1B 1C -32D 32【试题 5】在复平面内，复数 z = （ i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）1 +iA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【试题 6】已知 a, b R ， i 是虚数单位，若 (a +i)(1 +i)
5、=bi ，则 a +bi = 【试题 7】 已知 i 是虚数单位，则计算 的结果是（ ）2 -iA1 + i 5B +i5C iD -i真题回放【试题 1】（2016 年四川卷文 1，2015 年广东卷文 1）设 i 为虚单位，则复数 (1+i)2=（ ）A 0B 2C 2iD 2+2i【试题 2】（2016 年山东卷文 2）若复 z = ，其中 i 为虚数单位，则 z =（ ）1 -iA1 +iB 1 -iC -1+iD -1-i【试题 3】（2015 年安徽省）设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）1 -iA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【试题 4】（2017
6、年新课标全国卷文 2） (1+i)(2 +i) =（ ）A1 -iB 1 +3iC 3 +iD 3 +3i1 +i1 -i2 【试题 5】（2014 年北京卷文 1）复数 ( )1 -i2=【试题 6】（2018 年新课标全国卷理 1，文 2）设 z = +2i ，则 z =（ ）1 +iA 0B12C 1D 2【试题 7】（2018 年浙江卷 4）复数 （ i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）1 -iA1 +iB 1 -iC -1+iD -1-i2 2 = 1 ， () 8 复数模的性质与单位根的妙用知识点 1：（模的性质）性质 1： z = z性质 2： z2= z =z z性质 3： z
7、z = z z 1 2 1z z性质 4 1 = 1 z z2 22证明：令 z =a +bi，则 z =a +bi， z =a -b i对性质 1： z = a2+b2， z = a2+( -b)2= a2+b2，即 z = z对性质 2： z z =( a +bi)( a -bi) =a 2 -b 2 i2 =a 2 +b 2z =( a2+b2)2=a2+b2z2 = ( a +bi ) 2 = a 2 -b 2 +2 ab i = ( a 2 -b 2 ) 2 +4 a 2 b 2 = ( a 2 +b 2 ) 2 =a 2 +b 2即性质 2 成立令 z =a +b i 1 1 1，
8、 z =a +b i 2 2 2 z z = ( a +b i)( a +b i) = ( a a -b b ) +( a b +a b )i 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1= ( a a -b b ) 1 2 1 22+( a b +a b ) 1 2 2 12= a 21a22+b 21b 22+a 21b 22+a2 b 22 1z z = ( a 2 +b 2 )(a 2 +b 2 ) = a 2 a 2 +b 2 b 2 +a 2 b 2 +a 2 b 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1故性质 3 成立性质 4 同理可证知识点 2：（单
9、位根）(-1 3i 1 3i32 2)3=-1【证明】先看解方程 x 3 -1 =0 ，即 ( x -1)(x 2 +x +1) =0 ， x -1 =0 ，即 x =1 ，x2 +x +1 =0 ，即 x1 2,3=-1 3i2，故 (-1 3i2)3=1 ，同理可证另一式子记忆方法：-1 3i2，分子实部为 -1，结果即为 +11 31 31 -z) + (1 3i2 秒杀思路分析，分子实部为 +1，结果即为 -1复数模的运算是复数问题的一种基本运算，也是高考复数内容的最基本题型能熟练掌握模的性质可 大大简化运算程序，提高运算的准确性，达到快速“秒杀”目标单位根尽管考的时候不多，但应为复数
10、的一个知识点，教科书中也有相应的问题对于很复杂运算可 妙用单位根进行化简，达到速解目的【示例 1】（2017 年新课标全国卷理 2）设复数 z 满足 (1 +i) z=2i ，则 z =（ ）A12B22C 2D 2【示例 2】（2010 年新课标全国卷）已知复数 z =3 +i(1- 3i)2，则 z =（ ）A14B12C 1D 2此题若先把 z 化简会很复杂，直接利用模的性质，即可“秒杀”【示例 3】（2002 年天津卷）复数 ( + i)2 2B iA -i2的值是（ ）C -1D1方法对比【例 1】（2017 年浙江卷 12）已知 a, b R ，( a +bi) 2 =3 +4i（ i 是虚数单位），则a2+b2=ab =【例 2】（2004 年湖北卷）复数( -1+ 3i) 1 + 3i5的值是（ ）A -16B 16C -14D - i4 4【例 3】（2004 年辽宁卷）设复数 z 满足 =i ，则 1 +z =（ ）1 +zA 0B 1C 2D 2秒杀训练【试题 1】若 i( x +yi) =3 +4i ， x, y R ，则复数 x +yi 的模是（ ）A 2B 3C 4D 5【试题 2】设复数 a +bi( a , b R ) 的模为 3 ，则 (a +bi)( a -bi) =【试题 3
