三角形内角和定理

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1、“三角形内角和定理”教学设计 一内容和内容解析【内容】三角形内角和定理【内容解析】本课是人教版七年级下册第七章第二节7.2与三角形有关的角中的第一课时“7.2.1三角形的内角”，是在学习平行线之后，全等三角形之前；本节课主要研究三角形内角和及其证明，教材中引导学生探讨如何进行三角形内角和定理的证明，展示了一个完整的证明过程，让学生看到证明的表达形式，为学生进行逻辑推理的训练作好准备。【三角形内角和概念的核心】（1）三角形的内角和等于180度；（2）三角形内角和定理的证明。【教学重点】三角形内角和定理的证明二目标和目标解析【目标】 会证明三角形内角和定理，并能运用三角形内角和定理答解决实际问题。

2、【目标解析】通过添加辅助线证题，增强学生的观察、猜想和理论证明的能力，感受探索三角形内角和定理的证明过程，培养学生有条理地思考问题和表达问题的能力，通过渗透化归的数学思想，培养学生解决数学问题的基本方法。通过师生的共同探究活动，培养学生的概括、总结能力，激发学生探索问题的兴趣。三教学问题诊断分析【学生已有的知识结构】“三角形的内角和等于180度”，这一结论在义务教育课程标准试验教科书数学(人教版) 四年级下册第85页已做一次介绍，学生会用拼图的方法已知道三角形的三个内角的和等于180，本节课是在此的基础上，进一步地了解这个结论成立的道理启发学生得出说明证明这个结论正确的方法，而证明的过程中需用

3、到的平行线的性质与平角的定义等均在前几章学习。【学生学习的困难】如何利用所学知识将三角形的三个角移在一起？【本节课的难点】引导学生添加辅助线解决问题，并进行合乎情理地思考，有条理地表达。四教学支持条件分析 可以借助计算机及三角形模型辅助教学，展示三角形三个角移动的情况。五教学过程设计（一）学生回忆，引出课题问题1：三角形的内角和等于多少？设计意图：通过提问让学生回忆小学所学习的三角形的内角和等于180度的知识，同时让学生明确我们现在研究的问题与小学学习的知识是一致的，是在小学的基础上进一步研究。师生活动：师：小学里我们研究过三角形的相关知识，请问你记得三角形的内角和等于多少？生：三角形的内角和

4、等于180度。（二）通过设疑，引出问题问题2：小学里怎样说明三角形内角和是1800？设计意图：鉴于学生对三角形内角和已经有初步认识，在教学过程设计上没有从学生身边熟悉的事例创设情境，让学生观察并亲自动手，而是对三角形内角和的知识加以回忆。在小学学习中只是通过拼图得出三角形的内角和等于180度，但没有说明理由，而且“量一量、拼一拼”等受客观因素的制约，影响了研究结果的准确性，有的学生可能量出内角和的度数确实要高于或低于180，说明对于数学问题只靠剪拼得到的结论有一定的合理性，但还需证明来确认，借此教育学生研究问题要有一个严谨的科学态度。师生活动：师：小学里我们是怎样说明三角形内角和是1800的？

5、生：将三角形的三个角搬到一起组成一个平角。师： 当初你们是否对操作产生过怀疑。生：（1）剪拼是否要考虑缝隙，是否有误差（2）无论剪拼多少个总有特殊性，总不可能说明全部三角形的内角和都是1800师： 请问你能否将黑板上所画的三角形的三个角搬到一起组成一个平角吗？生：不能！ 师：不能搬！但能否根据我们最近所学习的相关知识来移动角，达到搬的效果？下面以分组为单位进行探索，看看哪一组探索的方法多，找到的方法最简单？（三）探索三角形内角和定理证明的方法：问题3：小组探索设计意图：小组合作探索，增强同学之间的合作精神，培养学生自主探索的能力。师生活动：在整个活动中教师不断走到各个小组检查学生讨论的情况，重

6、点帮助学习有困难的小组，及时对学生的探索给予肯定，鼓励完成较好的小组多研究几种证明的方法，同时，教师在巡视过程中注意各组学生讨论的方法，为后面小组汇报做好准备。问题4：小组汇报设计意图：让学生充分表现自己，对学生研究的成果给予肯定，让学生看到成功，看到希望，增强学习数学和信心。同时，教学中不但要给学生传授方法，还要给学生传授数学思想，让学生明确三角形内角和的证明实质是利用化归思想将三角形内角和转化为“平角等于”和“两直线平行同旁内角和等于”。师生活动：图1选择一两个小组进行汇报讨论的情况，其他小组补充，教师帮忙整理，总结出几种证明的方法。已知：如图1，三角形ABC 求证：A+B+C= 师：刚才

7、同学们积极地参与讨论，下面我们请几个小组汇报讨论的结果。（注：可以根据巡视的情况，有目的地选择两个用不同方法解答的小组汇报）图2小组1：要想证明三角形的三个内角之和等于180，联想到平角的大小是180，想办法将三角形的三个内角拼成一个平角， 所以将B和C内角“移动”到1和2的位置上，且保证两个角的大小不变，因此，过点A作BC的平行线DE（如图2），根据平行线的性质可以知道B=1，C=2，而此时，1、2和A三个角之和等于180度，即A+B+C=180，达到证明的目，这种方法是将三角形的三个内角化为“平角等于1800”。师：刚才第一小组是采用移动两个角使得三角形的三个内角化为成一个平角的方法来证明

8、，请问还有哪一个小组用的方法与第一小组不相同，能否只移动一个角？小组2：我们知道，两直线平行同旁内角互补（等于180度），因此，考虑能否将三角形的三个内角拼成两条平行线的一组同旁内角呢?根据这一思路，也可以设计如下证法：图3过顶点C作CDBA（如图3），则1A（两直线平行，内错角相等）CDBA1+ACB+B180（两直线平行，同旁内角互补）A+ACB+B180。师：刚才两个小组汇报很好，下面进行总结。师：请同学们思考，两个小组的证明方法有什么区别？生：第一小组是将三角形的三个内角化为“平角等于1800”来说明问题的；第二小组是将三角形的三个内角化为“两直线平行同旁内角和等于1800”说明问题的

9、。师：如何转化？生：利用所学习的平行线的知识，将其中的一个角（或者是两个角）平移。师：今天我们学习了三角形的内角和定理，并明确如何推理证明，请问三角形内角和定理有什么用？下面研究几个例题，通过对例题的分析，进一步地了解三角形内角和有作用。（四）例题分析，加深理解图4问题1：如图4，已知A=34，B =67，求C的度数。设计意图：让学生通过计算，巩固三角形内角和定理，并明确在一个三角形中已知两个角，可以求出第三个角。让学生独立完成，并利用实物投影展示学生答案，同时为下一个问题作准备。师生活动：师：可以用什么方法求出C的度数？图5生：利用“三角形内角和等于180度”可以求出C的度数。师：请同学们独

10、立完成，比一比谁做得又快又准。生：展示答案。（五）循序渐进，例题延伸问题2：如图5，C岛在A岛的北偏东57度方向，B岛在A岛的正东方向，C岛在B岛的北偏西30度，从C岛在A、B两岛的视角ACB是多少度？设计意图：让三角形内角和定理用到生活实际中，教学中引导学生思考，要想求ACB的度数，先已知什么？培养学生的分析能力，同时加强推理能力的培养。师生活动：师：本题要求的是什么？生：从C岛在A、B两岛的视角ACB是多少度？师：要求ACB的度数，最好已知哪些条件？生：若已知CAB和ABC的度数就可以利用三角形内角和定理求得。师：请问题中给出了CAB和ABC的度数吗？生：未知。师：你是否有什么方法求得？题

11、中所给的条件有什么样用？生：利用所给的条件可以求出CAB和ABC的度数，那么可以求出ACB的度数。师：实际上当我们求出CAB和ABC的度数时，此题变为问题1，直接利用三角形内角和定理求解，说明今后我们在解类似的的问题时，可以考虑先求出两个角，然后用三角形内角和定理解决问题。图6（六）变式练习，巩固提高问题3：如图6，C岛在A岛的北偏东50度方向，B岛在A岛的北偏东80度，C岛在B岛的北偏西40度，从C岛在A、B两岛的视角ACB是多少度？设计意图：此题是课本原有的例题，但对于初一学生学习有一定困难，因此增加两个题做为铺垫，这样这一题没有什么太大的难度了，此时让学生做为练习引导学生对比以上问题解答

12、案，多数学生基本能完成，同时让学生再次理顺几何证明题的分析思路及证明题的书写格式，培养书写的条理性，为今后学习几何做好准备。师生活动：图7先由学生独立完成，教师巡视，及时帮助学习困难的学生，学生完成后，展示个别学生的答案。问题4：如图7从A处观测C处时的仰角CAD=30度，从B处观测C处时仰角CBD=45度，从C处观测A、B两处时视角ACB是多少？设计意图：此题是课本的一题练习题，由于学生没有学习外角的知识，必须用平角的知识求出CBA的度数，再用三角形内角和定理，这时设计的目的让学生再次明确在一个三角形中已知两个角度数可以求出第三个角的度数，题中所求ACB在三角形ABC中，而这个三角形只给出一

13、个角的度数，如何利用所给的条件求出第二个角？师生活动：先由学生独立完成，教师巡视，及时帮助学习困难的学生，学生完成后，展示个别学生的答案。（七）总结概括，自我评价问题1：今天我们学习什么内容？你有什么收获？让我们分享吧！设计意图：通过总结回忆，让学生加深对三角形内角和定理的进一步认识。师生活动：师：今天我们学习什么内容？你有什么收获？让我们分享吧！学生1：三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于1800学生2：通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且证明方法不止一种。学生3：探索到一个数学规律，最终还须证明；并且学会怎样有条理的表达了。师：说的好！“证明”是确认数学规律的唯一方法。学

14、生4：三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角；学生5：三角形内角和的定理证明方法的实质是一种数学“化归”思想的运用。即将三角形三个内角的和等于1800转化为：(1)平角等于1800；(2)两直线平行同旁内角和等于1800；师：说的好！这是我们数学研究问题思维方法。为了证明上的需要，在原来图形上添加的线叫辅助线，辅助线通常画成虚线。第3题六、目标测试设计第1题第2题第1题：求出图中x的值。第2题：如图，已知三角形ABC是等腰三角形，且B=40度，求A和C的度数。设计意图：第1、2小题复习巩固所学习的三角形内角和定理，同时复习前面所学习的等边三角形和等腰三角形的知识，并为学

15、生完成后面的题做好准备。第3题：如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中A=150度，B=D=40度，求C的度数。设计意图：这是课本中的练习题，设计目的是引导学生会将所学知识用于实际生活中。第1题七、课外作业第1题：如图，ADBC，1=2，C=65，求BAC的度数。设计意图：这是课本中的习题，此题需用到等腰三角形、直角三角形知识以及三角形内角和定理。第2题：ABC中，B=A+10，C=B+10，求ABC的各内角的度数。设计意图：这是课本中的习题，此题可以利用方程组的方法求解，让学生明确几何问题有时可以用代数方法解决更方便。八、教学设计说明：新课程明确倡导动手实践、自主探究、合作交流的学习方式，这就要求教师应当从过去知识的传授者转变为学生自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者，因此，在教学过程中，设置问题情境，让学生分组合作、自主