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1、数学归纳法一、教学目标:1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。2、掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。4、努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、大胆质疑氛围,提高学生学习的兴趣和课堂效率。5、通过对例题的探究,体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神。二、教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。教学难点:明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正
2、确使用。三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程(一)、复习:1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值n0时命题成立;然后假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2、数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k(kn0,kN*)时,命题成立.(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,命题都成立.3、用数学归纳法证明一
3、个与正整数有关的命题的步骤:(1)证明:当n取第一个值n0结论正确;(2)假设当n=k(kN*,且kn0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确(二)、探究新课例1、求证:能被9整除,。证明:(1)当n=1时,36能被9整除,命题成立;(2)假设nk(k1)时,命题成立,即能被9整除。当nk+1时,由假设可知,上式的两部分都能被9整除。故nk+1时,命题也成立。根据(1)和(2)可知对任意的,该命题成立。证明整除性问题的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑出nk时的情形,从而利用归纳假设使问题获证。例2、证明
4、:凸n边形的对角线的条数。证明:(1)当n=4时,四边形有两条对角线,命题成立。(2)假设nk(k4)时,命题成立,即凸k边形的对角线的条数.当nk+1时,凸k+1边形是在k边形的基础上增加了一边,增加了一个顶点,增加的对角线条数是顶点与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边,共增加的对角线条数为:(k+1-3)+1=k-1。故nk+1时,命题也成立。根据(1)和(2)可知对n4,公式都成立。用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成k+1个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析,在实在分析不出来的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后
5、作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。例3、已知数列满足,试猜想的通项公式并用数学归纳法证明。解:由和,得,归纳上述结果,可得猜想。下面用数学归纳法证明这个猜想。(1)当n1时,左边,右边,等式成立。(2)假设当nk(k1)时,等式成立,即成立。那么,当nk+1时,。这就是说,当nk+1时等式成立。根据(1)和(2),可知猜想对任意正整数n都成立。探索性命题的求解一般分三步进行:验证p,p,p,p,;提出猜想;用数学归纳法证明。(三)、小结:使用数学归纳法时需要注意:(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题;(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可。(四)、练习:课本练习.(五)、作业:课本习题1-4:2.五、教后反思: