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1、习题解答:4-1负反馈系统的开环传递函数G sF s =Kgs s 1 s 2试绘制闭环系统的根轨迹。解：根轨迹有3个分支，分别起始于0,-1,-2,终止于无穷远。仃a=-1,售=180：60葭实轴上的根轨迹是(-8,-2及-1,0。d(s33s22s).二0ds可得，s=0.422,s2=1.578;s1=-0.422是分离点。根轨迹见图4-28。4-2系统的开环传递函数为迹上，并求出相应的根轨迹增益Kg和开环增益Ko解：若点Si在根轨迹上，则点Si应满足相角条件/G(s)H(s)=(2k+1)n,如图4-29所对于&=_1+jJ3,由相角条件.G(s)H(S1)-0-.(-1j,31)(-
2、1j,32)(-1j.34)jijiji=-JT36满足相角条件，因此S1=-1+jJ3在根轨迹上。将S1代入幅值条件:4-3G(si)H(si)=所以，Kg =12已知开环零点极点Kg-1 + j V3 + 2， 1 + j 73 + 4二1Kg3V - 2p，试概略画出相应的闭环根轨迹图。(1)=0,3;(2)-2,Z1,2-4-j45432=1莓;=2j1；Pi-1(3)6;p=0(4)解:实轴实釉实轴0.40.20.0.2-0.4-0.6-0.8-1.0-25,z=4，p2,3图4-30(3)图4-30(4)图4-30(1)实轴图4-30(2)4-4设单位反馈控制系统开环传递函数为Kg
3、ss1s3.5s32js3-j2试概略绘出其闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的分离点，起始角和与虚轴的交点）解：系统有五个开环极点:pl-0,p2-1,p3=-3.5,p4-3j2,p5-3-j21.实轴上的根轨迹：I-:,-3.5|1-1,012.渐近线:-1-3.5-(3j2卜j35(2k1)二73二-,一，二5552)=-2：13.分离点:1二0d3.5d3-j2d3j2d1=-0.45,d2-2.4(舍去),d型=3.25j1.904.与虚轴交点：闭环特征方程为D(s)=s(s1)(s3.5)(s3j2)(s3-j2)K=0把$=上与代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：r_#,_4_2_
4、Re(jo)=K+10.5&79.5切=0=Jm(j6)=切543.53+45.56=0可得，他=0各=1.023=6.52，(舍去;K*=0K*=71.90K115546.3、_5.根轨迹的起始角为：%=180,-75.96:-901135,-146379274由对称性得，另一起始角为92.741根轨迹如图习题4-31所示。4-5图4-31已知单位负反馈控制系统的开环传递函数4-7系统的框图如图 4-26所示，试绘制以为7变量的根轨迹图。Gs=3试作出以b为参量的根轨迹图。解:作等效开环传递函数G(s)=30bs(s40)1.实轴上的根轨迹:1-40,-011=0d 4012.分离点：一，d
5、解得：d=-20根轨迹如图4-32所示。10SO-io0CT-1O图4-324-6单位反馈系统的开环传递函数为2_Kg(s-2s5)G(s):(s2)(s-0.5)试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的KG值范围。解：根轨迹绘制如下：图 4-331 .实轴上的根轨迹：1-2,0.512 .分离点：1111+=+d-0.5d2d-1j2d-1-j2可得：d1=-0.413 .与虚轴交点：D(s)=(s2)(s-0.5)KG(s22s5)=0把s=j代入上方程，令he(D(j6)=-(1+KG)切2+5Kg-1=0=Jm(D(jo)=(1.52Kg)0=0解得:0 0 0Kg =0.2&=1.25、K
6、g =0.75根轨迹如图4-6所示。由图可知系统稳定的KG值范围为0.2Kg0.75;又K=5Kg,所以系统稳定的K值范围为1K0时，需绘制常规根轨迹。1.实轴上的根轨迹:1 - 3,-2 1,1-1,0 12 .渐近线:3 .分离点:解得根据以上计算,-2-3 13-1(2k 1)二3 -1d =-2.47-2可绘制出系统根轨迹如图4-35(1)所示。当a0时，需绘制0根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：(丈,3】，2,110产)。由图4-35(2)可以看出，当a0时，多项式的根全为实数。因此所求参数a的范围为0WaW0.4147或a0。因此所求参数a0的范围为0WaW0.41474-9已知负反馈
7、系统的闭环特征方程图4-36(2)K1(s14)(s22s2)=01.绘制系统根轨迹图(0K8)；2.确定使复数闭环主导极点的阻尼系数0 =0.5 的 Ki值。G(s)=2(s 14)(s2 2s 2)(1)根轨迹的起点为：5,2 = 一1 j , P3=-14 ,终点在无穷远处(无有限零点)解：1.系统的开环传递函数K1(2)分支数n=3。(3)实轴上根轨迹为(-8,-14区段。(4)渐近线为n-m=3条。 Pj -、Zi j a i mn 一 m16二一 一 -5.33 3a_ (2k 1)二 _ (2k 1)180 _60(k=0)180口(k=1)300(k=2)(5)根轨迹离开复极点
8、的出射角m由公式k=180;：ii1j1i-kk1-1800-(904)=86：k2=-86根轨迹如图4-37所示图4-37为所求之闭环极点2. P=arccos：匕.5=60,按此角过（0,0）点作直线与根轨迹交点与，用幅值条件可得（s,：-1jl.6）：Ki1G(Si)H(Si)=si - Pi si - P2Gp3 =0.63.213.1:25.12_4-10系统的特征方程为s(s+a)+k(s+1)=01 .画出a=2，a=i，a=6，a=9，a=i0时的根轨迹。2 .求出根轨迹在实轴上没有非零分离会合点时a值的范围。解：i）a=i时，特征方程为（s+1）（s2+k）=0根轨迹是-1及
9、整个虚轴，见图4-38（a）。a-i,特征方程可写为k(s1)s2(sa)开环传递函数G(s)=k(s 1)s2(s a)士-2，交点为3支根轨迹，起于0,0,a,止于-1和无穷远。渐近线与实轴交角是_a1a0;a1,Ga0在实轴上的分离会合点按下述方法计算。d(s1)ds32(sas)-(s1)d(s3as2)=0ds2=s(2s(a3)s2a)=0解得S1 =0S2,3-(a 3) 、(a - a)(a - 9)a = -2时，实轴上根轨迹是-1,22 1=1.52S2,3一(一2 3) 一 .(13)(二 11)电=1.186,S3=1.686(不在根轨迹上，舍去)分离点是1.186,对
10、应的k=0.524根轨迹见图4-38(b)a=6,实轴上根轨迹是-6,-1s2,3-(6 3)- (5)(-3)s2 ，S3是复数，不是实轴上的分离会合点。根轨迹见图4-38(c)a=9,实轴上根轨迹是-9,-1s2,3对应的k=27。根轨迹见图4-38(d)a=10,实轴上根轨迹是-10,-1-101二-4.5s2,3-(10 3) -(9),s2 = -2.5 ,电二一4对应的卜2=31.25,k3=32。根轨迹见图4-38(e)2）当分离会合点S2,3不是实数时，系统没有非零分离会合点(a-1)(a-9)：0=1：a:9图 3-38(e)4-11已知某单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=Ks2(s1)试绘制系统的根轨迹图，说明其稳定性。如果在负实轴上增加一个零点a(0a1),对系统的稳定性有何影响，试仍以根轨迹图来说明。解：、KG(s)=-21.s(s+1)时,(1)根轨迹起始于-1,0,0,终止于三个零点(为无限零点);(2)根轨迹分支数n=3；(3)实轴上的根轨迹位于(-8,-1区段；(4)渐近线n-m=3条。二pj-%乙Aj4i=41=n-m3a(2k1)二n-m(2k+1)1800,180,300sk=0,1,2由图4-39(1)可见，三条根轨迹分支，有两条位于环极点中有两个位于s右半平面，所以系统不稳定。s右半平面。当K从08时，三个闭
