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1、常见递推数列通项的求法(2 3n2(3n 11) (23n 23n 2321)31)(n类型1、an 1 an g n型解题思路：利用累差迭加法，将anan 1 g(n D，an 1an 2=g(n2),所以an3 3na2 a1 = g(1),各式相加，正负抵消，即得2 3n例1、在数列 an中，a13,解：原递推式可化为：an 1则a2a4a1a3逐项相加得:n(n评注：本题解题的关键是把递推关系式(2 321) (2 311) 3an1) 3,求通项公式1)进而求出 公式。 练习：(anan 1 ) (a n 1an 2 )1 a n 2 (a3a2 )3n(a21转化为an 1 ana
2、1)a1 ,即得数列2 3n 1 , an的通项1 ,211、已知an满足a1an 1ann(n 1)求2门的通项公式。a3a2 212、3、ananana1例2.在数列an中，a10 且 an1 ann 14 3 n2n类型2.，求通项an已知an的首项a1已知an中，a1an 1f(n)an型解题思路:利用累乘法，将ananan 12n( n Non2 fan。an 1n 1，一an 2)求通项公式。2,a2各式相乘得,a1解：依题意得，a1 0 , a2 a1 1, a3 把以上各式相加，得a23,an an 12n3,a nan 1an2n 32n 3an 1 an 2L型a1an .
3、【评注】由递推关系得，若g n2是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列;an 1an例4.在数列an中,a1an非常数，而是关于 n的一个解析式,可以肯定数列 an不是等差数列，将递推式中的n分别用anan .n 1, n 2, ,4,3,2 代入得 n往可以转化为一个或几个特殊数列的和O1个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得an,而右边往解：由条件等式an 1例3、已知数列 an 满足an 1 an 2 3n 1, a1 3,求数列an的通项公式。解：由an 1an3n 13n则 an (anan1)(an 1 an 2)(a3 a2) (a2 a1) a1an 1a2an 2a1
4、1 an 【评注】此题亦可构造特殊的数列，由以a1为首项，以1为公比的等比数歹U,an 1nan例5、设数列 an是首项为1的正项数列，且(n则它的通项公式是an na1.qn1)an(2000年高考15题).得,nan1 1得电则数列nan是2nanan 1an0 (n=1,2,3 )，解：原递推式可化为:练习：1、已知an满足a12an1求通项公式。( n 1)an 1 nan(an 1 an 02、已知an中，al3an 12（ n 2）求 an。an 1an0分析：构造辅助数列,an3( an 11),则 an 3n 1则电a11 a3a22 a4,3 a3逐项相乘得:ana1an =
5、. n练习：1、已知:a12、已知an中,类型3、an 1 can d(c解题思路：利用待定系数法，将造新数列an例6.数列an解：设,故由an 1a112anan同类变式1、已知数列an满足an2an分析：（待定系数），构造数列an即an 1k(n 1)2(an(2n 1)，且a12 ,求通项ankn b使其为等比数列,kn b),解得k2,b 12n 1 a an2n 10,canx是以a1 x为首项,满足 an 1 2an 1,1)型cana12）求数列an的通项。2求数列通项公式。d化为an 1 x c an x的形式，从而构c为公比的等比数列.2，求an.an 12an x,对照原递
6、推式，便有2an 1,得 an 1 1 2(an 1),即11为首项，以2为公比的等比数列。12n 1 ,即通项 an 2n 1 1【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数从而构造出一个新的等比数列an 1an1 2 ,得新数列an1是以11”作适当的分离，配凑成等比数列的结构,求得an2、已知:解:12 an1a21A 2anan3、已知数列2n 12n2时,an1一 an22n,求2门的通项公式。An2anA(n1)B4n4niAn1B 2解得:a1 4 6 36是以3为首项,6 3(i)n1an满足 an 1 3an为公比的等比数列an2 3n1, a13,求数列an的通项公式。解：an
7、3an 2 3n 1两边除以3n3nan3n由 a1a2a3S32a36,得 a314则四3n 1an3n13n（2）当 n2时,有anSnSn 12 anan 12 ,即 an2an 12 (I令an，则an2 an 1,与比较得，故包3nana(-aan 2 )3n 2(an 2 3n 2an3n 332a1 a1(-2T)T32313an是以a14为首项，以2为公比的等比数列.(3(313n 1(|A)an(4)2n ) 故 an2n 1 2引申题目:2(n31)13n13n13n 212)321、已知an中,ai 1an2an 12n2）求 an因此红3n2(n 1)(13n 1)2、
8、在数列an中，a11,an1 2an 43n1,求通项公式an o2n13n解：原递推式可化为:则an3n3nan 13n2(an3n 1)比较系数得=-4,式即是:an 14 3n2(an 4 3n1).评注：本题解题的关键是把递推关系式an3an3n1转化为a n 11nan3n则数列ann 14 3 是一个等比数列，其首项 J 1_一a14 35 ,公比是2.进而求出（叟3na n 1 ) 3n 1a(-3an 2 ) 3n 2(an 2 3n 2an3n 3,a2+ + ( 32a13即得数列an 43n 15 2n 1 即 an4 3n 15 2n 1的通项公式,最后再求数列an的通
9、项公式。3、已知数列an满足an 1 2an 3 2n, a12 ,求数列an的通项公式。类型4. an 1c ang n例7已知数列an的前n项和Sn满足Sn 2an2n解：an 12an 3 2n两边除以2n 1,得an2n 1an2n(1)写出数列的前3项ajaza；aa故数列n是以一1 2n212 .31为首，以一22为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得(2)求数列an的通项公式.解:(D 由 a1S12a12 ,得 a12.an 1 （n 1）| ,所以数列an的通项公式为an （| n ；）2n。评注：本题解题的关键是把递推关系式由 a1 a2 S22a24,得a26,an
10、1 2an 3 2n转化为空2n an2n是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出an31 (n 1)-,进而求出数列an2n2的通项公式解：将an2an 1口 11两边取倒数得：a n an 11、一，2 ,这说明1是一个等差数列,a n4、若数列的递推公式为ai3ann 1 ,2 3 (n,则求这个数列的通项公式丫）“1，首项是1 ,公差为2,a1所以1 (n 1) 2 2n 1,即 a5、若数列的递推公式为a1an2 3n 1(n,则求这个数列的通项公式丫）例9、数列an中，且an2an2an2n 1,求数列an的通项公式.6、已知数列an满足an 12an3 5n, a1提示6 ,
11、求数列an的通项公式。1 an1A2 an解：设 an 1 x 5n 1 2(an例10、anan2nan 1a1求an将an 12an3 5n代入式,得 2an 32an2x 5n ，等式两边消去解:an 12n即 bn an1 bn2n5nx 5n 1 2x 5n ,两边除以5n，得3 x 52x,则x=-1,代入式,则bnb12n2n12n 1得an 15n 12(an 5n)由a15165 1 ,0及式，得an 5nan 1 则qan5n 15n2,则数列an 5n是例11、数列anan 1中，2n 12n 1anan2 求an的通项。以 a1511为首项，以2为公比的等比数列，则an5n 1 2n 1故 an2n 15n。解：an 12n 1 an2n1an评注：本题解题的关键是把递推关系式an I 2ann 1 n3 5n 转化为 an 1 5n 1 2(an5n),bnbn 1bn1_2n 1从而可知数列an 5n是等比数列，进而求出数列an5n的通项公式，最后再求出数列anbnbn的通项公式。类型5、取倒数12n例8、已知
