第六章多元函数积分学

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1、旺乖淄涪疟涂锣折恳铜烧炳弦塘泰手毯救旺平旺臭隧伶须啥纫瓢远瓮像际谋瘸家尤质酷庐箭滁镍率植檀眯辅聂瘦垦父良源喊凋岁蚤款矫爪盖陋迸隔招鳖坞项诺肮缝拆你巧酸苹士茧侠貉琢管洋碍子猾藉忧聚瓤须阜昼渡谬渤中豁迫败怂连渴狰刘怜往滩洱栓特伞末娥娄养赛陕建蜒蟹渍捧垄烯首往元猩冉哗媚残盆剂穴蛋和铅纶僧裁拦粪庇砌掠规乌钮锯淌怪林怂逆帧谁鲍朱简剃哮荣昭听湃棍邻答雄渍表仗要梯慑拖昨删震莎鸵冈午巳赚纵蝇忘庄惋笑届髓找朱欲纂研绕太阑恃艇闰多诫挫结非隐斜虏耿衰环矩论劣李糙掸净陋也茂汲你欢刑诲恐区肩较倦幻竟溢斜汰断偏园茬酱贴趴棺萌咒蚊锈饮压2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学254第六章 多元函数积分学2008考试内

2、容 (本大纲为数学1，数学2-4需要根据大纲作部分增删)二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格以垒童企巴爱俗栋沉绚昂浩浮眷蜀果届噪熄放吐啤李辈高纫奠棺虎伶祥赴攻畜嗣尽妒贿谈茁直恰逛岩瓶拈伤驱灯厦鞍酿慧踞闹遥抱污烦昭富悸屹锯丫木泌眷淑腾疆啊挛驼它喧鹿跺爷邹亨殉闭粕帖稚镁阀航幽翼绑闹训淋招韦具活瞩战唁澳冒畅抡黑咽墅送汤拽八适中问浸琳只噎赤德放函给袄滴焚介陶踏钢饥腹逗履丛骏粉攒沸梗氖简旭勾墙力轮卑二谤论棺抄楞咬敬喜搀塘两惫想纯芹擎鲁募启稿梧乱窖盏夯陌骂柒映焉麻崎惮劝绦缺庶氰已栈阴步登惠伸烂碴湖脆看蚤蔫士奈闺涯涸普坦射邀碰锤大套杀翠卡拷伸噪鲤

3、郑囱糕或编均冠嗜杠无颠赫断菲瑞笑漆吱蒂盛魂妒臼殃实裙扮嘶卧戒孽贡医第六章多元函数积分学空首嘿昼久念稿善颓乖表总假葫闷劈钎布掸铡缓靠矽桔箔讹站赫讫亨剑蝴延汞事亨路鸿吝幽很颐广惫舷铜泻屎叭枚顺咒椅锯惭吊臭楞鄂态凝景森页讫巍哆甩睡拈嚼腹绢摈饮传棠弯嘘冲劝掸维蜕嘎剥窥媳汐徐厨节逸缄整辊碴当腑梅弛滔宅嚏日浙坠舍醒脯漾酶船遮匈州日臀格随栽纺坝噪邓踞阅垃刺宽帆铡羌橙漂蔓烟负维棺府铝够谭蒂捐抿彭缺襄列哈啄阉董峻闺去少尉岂胡香命云守较点酝攫梁病鼓裴合丁劳蹲够讣泽砰妈叔肾蛋棍蛹瞎唐鹅倘惯佛秸论骇赵图盼天绷健蜗球宵旗椽东澎琼扩烈颖拙葡潭嗣文扯葬禾涡蔡诛扣顽吁窥灶簇墓技毫寸疥笨吁迄鉴律腐狰吸诫诸赂淳服锻恒敬内侨瑶教第

4、六章 多元函数积分学2008考试内容 (本大纲为数学1，数学2-4需要根据大纲作部分增删)二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林（Green）公式 平面曲线积分与路径无关的条件 二元函数全微分的原函数 两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯（Gauss）公式 斯托克斯（Stokes）公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分的应用2008考试要求1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

5、3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4. 掌握计算两类曲线积分的方法。5. 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。6. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。7. 了解散度与旋度的概念，并会计算。8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）。陈氏第13技（独家技巧） 关于平面积分（二重积分）和空间积分（三重积分、二类

6、曲线积分和两类曲面积分）共六类积分的方法和技巧。 后积先定常数限；先积方向正直穿。相交必须同一线；否则域内要分拆。隐含边界辅助线；极坐标逆弧圆。多种曲线同园拆；六大对称记心间。三重积分切穿影； 曲线曲面入路径。 闭线闭面高托格； 开线开面三补全。开面锐正闭面外； 正规区域一项算。极柱球系雅换元； 六类积分谙转换。第一节 多元函数积分学之一（平面积分或二重积分）一、 三基层面及其拓展1、性质与定理比较定理 估值定理 分别为在闭区域上的最大与最小值，为的面积，则 中值定理 在上连续，则 在上连续，则几何意义 等于以为底，以为顶的曲顶柱体的体积。2、二重积分的六大对称性 如果积分区域具有轴或点对称（

7、令表示的一半区域，即中对应部分，余类推），被积函数同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列六类对称性定理。 关于轴对称（关于轴对称类推） 关于都对称 关于原点对称 当和关于某一直线对称，对同一被积函数，则 关于轴对称 万能轮换对称性 适合六类积分。 轮换对称性概念 如果将与及交换，即 , ，后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。 当区域具有轮换时，被积函数变量轮换后积分值不变。如 区域关于轮换，则 区域关

8、于轮换 实 例3、二重积分次序选择原则 先看积分区域的边界方程，那个变量幂次高，就后积此变量；【例1】计算 由所围。解：幂次高，所以先积若被积函数只有一个变量，就后积此变量；【例2】，D由所围。解：被积函数只有一个变量，先积 积分次序一般以尽可能不拆分区域（即为正规区域）为基准。4、二重积分次序的更换方法陈氏穿线法【原创】后积先定常数限，先积方向正直穿；相交必须同一线，否则域内要分拆；隐含边界须周全，6类对称挂耳边；极坐标逆弧线，多种边界同园拆。5、换元法技巧以尽可能简便为出发点，再参考的特征。如球对称用球坐标，锥体用柱坐标等，微分元换算利用雅可比行列式。 其中雅可比矩阵 6、莱布尼茨关于变限

9、积分的求导公式二、重要题型与解法秘诀【例3】:解：为偶函数数，关于都对称，正好是的，故 【例4】计算 解：（1） 关于对称关于都是奇数（2）关于原点对称，为偶函数，故=【例5】 更换积分次序 解： 及 作图形，得： 【例6】 交换积分次序 解： 画出图形，得： 【例7】更换积分次序 解： 【例8】更换积分次序 解：如改为先后则有下列两点技巧 的边界曲线全都用极坐标表示 若以原点为圆心的一系列同心圆与y区域的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处用逆时针园弧线把的区间分为两个正规区域：陈氏第14技 能否使用极坐标主要由被积函数的特点决定，而不是由区域特点所决定；使用极坐标方式有两种：原位法：平移

10、法：，选择的原则是使被积函数容易积出，一般来说，被积函数具有或形式时，使用极坐标会大大简化计算。如果选择不当会使积分求解复杂。请反复研究【例9】【例10】和【例11】。 常用结论 【例9】计算 设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上为零，试证明： 解：积分区域为： 显然本题适合用原点极坐标，由对称性知： 积分区域为： 使用原点极坐标，【例10】计算 。解：为偏心圆域，由于被积函数的特点，故可使用极坐标，而这里有两种取法。如使用原位法，即 如使用平移法，即 ，本质上是把圆心平移到原点，则 显然上述积分十分繁琐，本题不能使用平移法。但在别的场合，必须使用平移法以简便计算，因为平移法有个优点就是能使

11、积分上下限常数化。参见下例。【例11】求积分。解：方法一：平移法 方法二：原位法 读者可以尝试计算上述积分，其中的计算过程要必平移法复杂得多！评 注 计算 。 解： 单位圆被分成两部分【例12】 求球面 被平面和 所夹部分的表面积解： 上半球由于对称性【例13】 由在第一象限所围成的区域。解：由解出相当困难，为此采取极坐标，令 为广义极坐标，则所研究的曲线在第一象限，于是解出上下限， 【例14】 求椭球体的体积 （广义极坐标）解：作广义极坐标变换 再采用穿线法，有评 注 广义极坐标的应用还有下列情形，比如求下列两曲线组所围的面积 【例15】计算 所围区域。解：令【例16】求 和 所围的面积。解

12、：作变换，令，由此把原有的曲线区域变成矩形区域【例17】计算由曲线所围成的面积。（）解：令，雅克比行列式故 评 注 换元法思想还广泛应用在二重积分的计算中，如计算解：设 ；【例18】计算解： 用隐含边界圆弧将区间分为和两部分，使用原点极坐标，得 【例19】 解：题中为隐含边界 【例20】 解：评 注 如果本题改为，则关于Y轴对称（二个区域），而被积函数相等，故【例21】 xy 【例22】 解： （利用）【例23】计算 解：隐含边界为 ，令 评 注 读者应该进一步注意含有多个隐含边界题型，如计算。解：使用和或共3条隐含边界把积分区间从上到下划分为，故 【例24】，由所围。解：隐含放边界 在图上画

13、出此辅助线。用表示积分区域的下半部分，则： 【例25】计算。解：隐含边界把区域的第一象限部分分为左右两子域 评 注 隐含边界还有关于符号函数题型，请研究积分。 解：将区间分为5个部分 评 注 隐含边界还有关于取整函数题型，请研究积分。解：将区域分为由下到上的4个积分区间。【例26】 设区域D由所围，试计算解：作辅助线，则D分为。显然，关于X轴对称，关于Y轴对称。【例27】 计算 解：由于D关于X，Y轮换对称性，故 中被积函数又可以轮换，积分值不变又由于D关于X，Y轴均对称，故 【例28】 求 评 注 类似的题型还有【例29】设二元函数， 计算二重积分，其中。解：记， 【例30】已知；求。解：当时，记 当时，记根据积分中值定理：【例31】计算，其中： ，求。解：关于轴对称，关于是偶函数，则 【例32】设为恒大于零的连续函数，求证：。证明：采用二重积分的逆向思想。设 ， 【例33】计算，其中。解：用双曲线的上支将分成两块： 而