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1、第二节平面向量基本定理及坐标表示考纲传真1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，唯一一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使axiyj，把有序数对(x，y)叫作向
2、量a的坐标，记作a(x，y)3平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，设a，b，则向量a与b的夹角
3、为ABC.()(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()答案(1)(2)(3)(4)2已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于 ()A5B.C.D13B因为ab(2，1)(1,3)(3,2)，所以|ab|.3(20xx全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)A(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)4(20xx全国卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.6a(m,4)，b(
4、3，2)，ab，2m430，m6.5(教材改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_【导学号：57962199】(1,5)设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得平面向量基本定理及其应用(1)如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是() Ae1与e1e2Be12e2与e12e2Ce1e2与e1e2De13e2与6e22e1(2)(20xx山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_.【导学号：57962200】(1)D(2)(1)选项
5、A中，设e1e2e1，则无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项D中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量(2)选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得解得所以.规律方法1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量2利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于，的方程组变式训练1如图421，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，.图421解ab，ab，ab.3分
6、ab，ab，8分ababab.综上，ab，ab，ab.12分平面向量的坐标运算已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b， (1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).2分(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).5分(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得8分(3)设O为坐标原点3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20).10分又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18).12分规
7、律方法1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解2平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来变式训练2(20xx合肥三次质检)已知a(1，t)，b(t，6)，则|2ab|的最小值为_2由条件得2ab(2t,2t6)，所以|2ab|，当t2时，|2ab|的最小值为2.平面向量共线的坐标表示(1)已知向量a(1,1)，b(3，m)，若a(ab)，则m
8、()【导学号：57962201】A2B2C3D3(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_(1)C(2)(2,4)(1)由题意可知ab(2,1m)，a(ab)，2(m1)0m3.(2)在梯形ABCD中，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)规律方法1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10
9、；(2)若ab(a0)，则ba.2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解变式训练3(1)(20xx郑州模拟)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角_.(2)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_.【导学号：57962202】(1)(2)k1(1)由ab，得(1sin )(1sin )，所以cos2，所以cos 或，又为锐角，所以.(2)若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线因为(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，
10、所以1(k1)2k0，解得k1.思想与方法1平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a1e12e2的形式2利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值3若a与b不共线，ab0，则0.易错与防范1在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)但表示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量a(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息2若a，b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形致误3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.
