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1、2021-2022学年山东省青岛市高一下学期期中数学试题一、单选题1在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】首先化简复数，再根据复数的几何意义，求对应的点所在象限.【详解】，对应的点时，在第四象限.故选：D2已知，则（）A2BC1D【答案】B【分析】根据数量积的坐标运算，求出，进而根据模长公式求解.【详解】，解得，.故选：B.3若圆锥的底面半径与高均为，则圆锥的表面积等于（）ABCD【答案】A【分析】根据圆锥的底面半径与高均为，利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后由圆锥的表面积公式求解.【详解】因为圆锥的底面半径与高均为，所以圆
2、锥的母线长为，所以圆锥的表面积等于，故选：A【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和表面积的求法，属于基础题.4如图，是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（）ABCD【答案】D【分析】将平面图形的直观图复原为原图，根据斜二测画法的规则，即可求得答案.【详解】根据斜二测画法的规则，将平面图形的直观图恢复为原图，如图示：则 ，故这个平面图形的面积为 ,故选：D5如图，在正方形中，M，N分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（）A垂直B平行C相交但不垂直D无法确定【答案】B【分析】连接，设，连接，证明四边形为平行四边形可得,从而即可证明平面.【详解】解：连接，设，连接，因为在正方形中，M，
3、N分别是的中点，所以，且，又所以，且，所以四边形为平行四边形，所以,因为平面，平面，所以平面，故选：B.6魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为（）A18B6C3D2【答案】C【分析】由题意可得该正方体的内切球的体积，设正方体的棱长为，进而可得内切球半径为，由球的体积公式列方程，即可得解.【详解】因为“牟合方盖”的体积为18，所以该正方体的内切球的体积为，设正方体的棱长为，则该正方体的内切球半径为，所以，解得.故选：C
4、.【点睛】本题考查了数学文化及正方体内切球、球的体积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A，B，C，D，【答案】C【分析】由正弦定理解三角形进行判断【详解】解：由正弦定理可得，对于选项A，有，故ABC有唯一解对于选项B，又，故，故ABC无解对于选项C，有，又，故ABC有两个解对于选项D，由，得，故B为锐角，故ABC有唯一解故选：C8在ABC中，若，则ABC是（）A等腰或直角三角形B直角三角形C等腰三角形D钝角三角形【答案】A【分析】利用正弦定理化边为角，再根据二倍角得正弦公式化简，从而可得出结论【详解】因为，所有，即,可得，所以
5、或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形故选：A二、多选题9设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）A若，则或B方程的根是CD若点Z的坐标为，则是实数【答案】CD【分析】举反例判断A，根据得出方程的根，根据复数的运算判断CD.【详解】对于A，若，则A错误；对于B，则方程的根是，故B错误；对于C，故C正确；对于D，点Z的坐标为，则，故D正确；故选：CD10已知是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，在下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则m至少与中一个平行【答案】BD【分析】画出一个正方体，借助正方体的平行，垂直关系，进行验证即可【详解】A.
6、如图所示： ，可得结果或，故A错误；B.如图所示：，可得结果，故B正确；C.如图所示：，可得，故C错误；D.如图所示：，可得结果或，故D正确故选：BD11在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则下列说法正确的是（）A为钝角三角形BC周长为D的外接圆面积为【答案】BC【分析】利用正弦定理可得三边，然后利用余弦定理，正弦定理逐项判断即得.【详解】因为，所以，又， ，故，所以B为锐角，故为锐角三角形，故A错误；由，可得，故B正确；由上可知周长为，故C正确；由正弦定理可得的外接圆直径为，即，的外接圆面积为，故D错误.故选：BC.12正的边长为1，中心为，过的动直线与边，分别相交于点M、N，给
7、出下列四个结论其中所有正确结论的序号是（）AB若，则C不是定值，与直线的位置有关D与的面积之比的最小值为【答案】ABD【分析】利用向量的加法结合三角形重心定理，判断A;利用向量的数乘以及向量的加减法，计算，判断B；根据向量共线的推论可求得的值，判断C;利用三角形的面积公式，结合基本不等式可求得与的面积之比，判断D.【详解】如图示：连接AD，因为是正三角形，且，故A，O，D三点共线，则,故A正确；,故B正确；由题意知， ，由A的分析知，故,因为M，O，N三点共线，故，即，即是定值，与直线的位置无关，故C错误； ,而，则，即 ，当且仅当 时取等号，即与的面积之比的最小值为，故D正确，故选：ABD三
8、、填空题13底面半径为3的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为_【答案】3【分析】根据已知条件列方程，化简求得圆柱的高.【详解】设圆柱的高为，依题意圆柱的侧面积是圆柱表面积的，所以，解得.故答案为：14已知向量满足且，则与的夹角为_【答案】#【分析】由已知，根据，借助可以求解出，然后带入即可完成求解.【详解】由已知，所以，所以，又所以与的夹角为.故答案为：.15的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，若，则角_.【答案】#【分析】由向量共线的坐标表示得到，再利用正弦定理将角化边，结合余弦定理计算可得；【详解】解：因为，且，所以，由正弦定理可得，即，由余弦定理，因为，所以故
9、答案为：四、双空题16如图，正四面体的体积为，E、F、G、H分别是棱AD、BD、BC、AC的中点，则_，多面体的外接球的体积为_.【答案】 1 【分析】将正四面体放入正方体，利用正方体的性质即得，设AB的中点为O，进而可得多面体的外接球的球心为，然后利用体积公式即得.【详解】如图，将正四面体嵌入到正方体中，则正四面体的体积为正方体体积的，设正方体的边长为，则，所以，是的中位线，所以.设AB的中点为O，连接OE，OF，OG，OH，因为，所以多面体的外接球的球心为，半径为1，外接球的体积为.故答案为：1；.五、解答题17已知复数（其中，i为虚数单位）是纯虚数.(1)求实数的值；(2)若复数，求【答
10、案】(1)(2)18【分析】（1）由纯虚数的定义直接求即可；（2）先化简求出，再由共轭复数求出，即可求出.【详解】（1）因为为纯虚数，则，解得；（2）由（1）得，因为，所以，则 ，.18已知向量，(1)若，求的值；(2)若，向量与的夹角为钝角，求的取值范围【答案】(1)(2)且【分析】（1）首先求出，的坐标，依题意，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；（2）依题意可得且与不反向，根据向量共线及数量积的坐标表示得到求出的取值范围；【详解】（1）解：因为，所以，因为，所以，解得；（2）解：因为，且与的夹角为钝角，所以且与不反向，由，解得，当即时与反向，故，综上可得且19已知非零向量与不共线
11、，.（1）若，求t的值；（2）若A、B、C三点共线，求t的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意结合平面向量数乘的概念即可得解；（2）由题意结合平面向量共线定理、平面向量线性运算法则可得，再由平面向量基本定理即可得解.【详解】（1），；（2）A、B、C三点共线，存在非零实数使，即，与不共线，.【点睛】本题考查了平面向量数乘的应用，考查了平面向量线性运算法则、共线定理及平面向量基本定理的应用，属于中档题.20在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角A的大小；（2）若，求c的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可得，从而得；（2）由两角
12、和的正弦公式和诱导公式求得，再由正弦定理可得【详解】解：（1）由正弦定理可得，由余弦定理得，因为，所以；（2）由（1）可知，因为，B为的内角，所以，故，由正弦定理得【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，解题关键是用正弦定理进行边角转换21如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，H在BD上.(1)证明：；(2)若AB的中点为N，求证：平面APD.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）连结AC交BD于O，连结OM.先证明出面MBD，再利用线面平行的性质定理即可证明；（2）连结 MN.取P
13、D 的中点E，连结EM,AE.利用线面平行的判定定理即可证明平面APD.【详解】（1）连结AC交BD于O，连结OM.因为ABCD是平行四边形，所以O为AC中点.因为M是PC的中点，所以.因为面MBD，面MBD，所以面MBD.又过G和AP作平面交平面BDM于GH，H在BD上，所以.（2）连结 MN.取PD 的中点E，连结EM,AE.因为M是PC的中点，所以，且.因为ABCD是平行四边形，所以，且所以，且，所以四边形ANME为平行四边形，所以.因为面APD，面APD，所以平面APD.22高邮某景区拟开辟一个平面示意图如图的五边形观光步行道，为景点电瓶车专用道，.(1)求电瓶车专用道的长；(2)由于受资金的限制，折线步行道（即）不能超过，问景区是否可以铺设该步行道?（ 参考公式： ）【答案】(1)电瓶车专用道长为15km(2)景区不可以铺设该步行道【分析】（1）在中，利用余弦定理可求出，再在中，利用余弦定理求出即可，（2）设，则，在中，利用正弦定理表示出，则可得，换元后利用二次函数的性质可求出的范围，从而可作出判断【详解】（1）在中， ，在中，答：电瓶车专用道长为15（2）设，则，在中，由正弦定理得:，即，
