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1、比例类行程问题之柳卡图练习题一 夯实基础：1. 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛轮船在途中均要航行七天七夜试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？2. 甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米。如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇( )次。3. 、两地相距米，甲从地、乙从地同时出发，在、两地间往返锻炼乙跑步每分钟行米，甲步行每分钟行米在分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距地最近(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？4. A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出
2、发，在A、B间往返长跑甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动甲、乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少米？二 拓展提高：5. 两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次?（两名运动员在同一地点即算相遇）6. A，B两地相距1100米，甲、乙两人同时从A地出发，在A、B间往返锻炼。甲步行每分钟行60米，乙跑步每分钟行160米，40分钟后停止运动。甲、乙两人第几次相遇时距B地最近？最近距离是多少米？7. 有一个长50米
3、的游泳池，甲乙两人同时下水，分别从游泳池的北岸和南岸开始向对岸游，游到南岸后立即返回，不断往复。已知甲游泳的速度是1米/秒，乙游泳的速度是0.8米/秒，问甲多少秒后追上乙？总共迎面相遇了几次？三 超常挑战8. 、是公共汽车的两个车站，从站到站是上坡路每天上午点到点从、两站每隔分同时相向发出一辆公共汽车已知从站到站单程需分，从站到站单程需分问：(1)、从站发车的司机分别能看到几辆从站开来的汽车？从站发车的司机最少能看到几辆从站开来的汽车？9. 一条大河，水由A港流向B港，流速4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停的在A、B之间往返航行，甲、乙两船在静水中的速度分别是28千米/时和20千
4、米/时，已知两船第二次迎面相遇的地点与两船第五次相遇的地点相距50千米，那么A、B两港相距（ ）千米？10. 甲、乙两车分别从A、两地同时出发, 且在, 两地往返匀速行驶. 若两车第一次相遇后, 甲车继续行驶4小时到达B, 而乙车只行驶了1小时就到达A, 则两车第15次（在A、B两地相遇次数不计）相遇时, 它们行驶了 小时.四. 杯赛演练： 11. （“学而思”杯试题）甲、乙分别从A、B两端同时出发，在两地间往返运动，甲每分钟行20米，乙每分钟行25米，A、B两地相距100米，他们有时迎面相遇，有时追逐相遇，那么在1小时内他们相遇了多少次？12. （“迎春杯”试题）一条电车线路的起点站和终点站
5、分别是甲站和乙站，每隔分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走分钟同时，有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站，他从乙站到甲站需要40分钟，那么他在途中一共遇到了多少辆从甲站发出的车？13. (全国小学数学资优生水平测试)甲、乙两名运动员分别从、同时出发，在间练习往返跑；甲有一只小狗，与甲同时从出发，它总是朝甲所在的地方跑去当乙第次和这只小狗相遇后秒，甲和乙又一次相遇若甲、乙小狗每秒分别跑米、米、米，且之间的距离大于米，则间的距离是多少？(本题中，只要在同一地点同时出现就视为相遇)14. （“走美”初赛试题）A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。每天上午8点到11点从A，B两站
6、每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B站单程需105分，从B站到A站单程需80分。问：（1）8：30、9：00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车？（2）从A站发车的司机最少能看到几辆从B站开来的汽车？15. (“数学解题能力展示”复试题)A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处。甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航。水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同。如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是_米秒。答案：1. 这就是著名的柳卡问题下面介绍的法国数学家柳卡斯图姆给出的一个非常直观
7、巧妙的解法他先画了如下一幅图： 这是一张运行图在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示图中的每条线段分别表示每条船的运行情况粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜455605305
8、90515012051352. 甲跑一个来回要60秒，乙跑一个来回要90秒，经过180秒他们又都回到出发点，取180秒为一个周期，180秒乙甲 180秒 可见一个周期内一共相交5次，103=31分钟。所以：53+2=17次。3. 甲、乙的运行图如上，图中实现表示甲，虚线表示乙，两条线的交点表示两人相遇在30分钟内，两人共行了米，相当于6个全程又300米，由图可知，第次相遇时距离地最近，此时两人共走了3个全程，即千米，用时分钟，甲行了米，相遇地点距离地米。4. 图示法其中实线表示甲所走的路程，虚线表示乙走的路程，实线与虚线的交点就是相遇点由图可以看出两人共相遇了3次，其中第2次距A地最近，最近距
9、离为D到A地的距离，由图看出,根据相似，所以最近距离为(米)5. 转化单位，甲的速度为60米/分钟；乙的速度为36米/分钟。在5分钟，甲共游了605=300米，相当于10个全程；乙共游了365=180米，相当于5个全程；作柳卡图如下：则可以观察出共相遇10次。6. 甲、乙的运行图如下，图中实线为甲，虚线为乙。B A 图上每一格代表5分钟由上图知，第2次相遇时距B地最近。第2次相遇时两人共行两个来回，用11004（60+160）=20分。距B地 6020-1100=100米。7. 解：甲追上乙时，甲比乙多走了一个全程50米所以50=（1-0.8）t, t=250s甲从北岸游去南岸的时间=501=
10、50s乙从南岸游去北岸的时间=500.8=62.5s所以画出锯齿图（柳卡图）如下，甲用黑色线表示，乙用红色线表示：总共有四个交叉点（除了最后一次是通向追及相遇），所以总共迎面相遇了四次。8. 我们画时间路线图，通过看图发现从出发的车所走路线与从站发车路线有个交点，所以从站发车的司机能看到到从站发出的5辆车，同理从站发车的司机能看到8：00到10：30从站发出的6辆车11点从发车的司机只能看到11点前从站开出但尚未到达站的车，即、从站开出的3辆车9. 解：根据题意得V甲顺：V甲逆：V乙顺：V乙逆=32:24:24:16=4:3:3:2，设A、B两个港口间的距离为4,3,2=12，则甲船顺水、逆水
11、、乙船顺水、逆水行完全程用时比为3:4:4:6，根据题意画柳卡图如下，甲船行走的路线用实线表示，乙船行走的路线用虚线表示：路程有50（1/31/8）=240(千米)10.11. 甲跑完一个全程用时：10020=5（分钟） 乙用时：10025=4（分钟） 周期24，5=40（分钟） 如图，1小时包含一个周期加20分钟。共相遇14次。12. 如图共遇到10个。13. 画折线图，并依次计算各个事件发生点到地距离与距离的长度比，显然的，当甲与狗相遇时，一定会发生狗转向事件通过计算得到：狗第一次转向的地点，在中点；狗第二次转向的地点，到地距离与距离的长度比为；狗第三次转向的地点，到地距离与距离的长度比为
12、；狗第四次转向的地点，到地距离与距离的长度比为；狗第五次转向的地点，到地距离与距离的长度比为；在第四转向前，狗与乙第次相遇在狗第四次转向时，狗所行路程等于路程的，乙行了全程的，此时乙的位置到地距离与距离的长度比为，此时狗和乙同向运动，到下一次相遇狗和乙相遇时，狗和乙合走了了全程的，其中狗走了，所以此时狗和乙的相遇点到的距离等于全程的乙下一次与甲相遇在点，还要行走米，所以的距离为米14. 如图8：30、9：00从A站发车的司机分别能看到5辆和6辆。最少能看到3辆。15. 分析： 本题采用柳卡图分析比较简便。如图，箭头表示水流方向。ACE表示甲船的路线；BDF表示乙船的路线，两个交点M、N就是两次
13、相遇的地点。 由于两船在静水中的速度相同，水速相同，所以两船的顺水速度和逆水速度也都相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间也都相同。表现在图中，就是BC和DE的长度相同，AD和CF的长度相同。 根据对称性，M点距离BC的距离与N点距离DE的距离是相等的，也就是两次相遇的地点与A、B两地的距离相等。这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时：逆水行驶的乙船行了（10020）240千米；顺水行驶的甲船行了（10020）260千米； 两船同时出发，到相遇时所用时间相同。时间相同，速度比等于路程比。所以，两船顺水速度和逆水速度的比是604032， （船静水速度2）（船静水速度2）32 船静水速度10米/秒 答：两船在静水中的速度是10米秒。兰海&姜付加&崔伟健 | 1
