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1、运算定律与简便计算一、教学目标知识与技能1. 理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算 定律进行一些简便计算。2. 能用所学知识解决简单的实际问题。过程与方法1. 在探索运算定律的过程中，培养根据具体情况，选择算法的意识与能力， 发展思维的灵活性。2. 感受数学与现实生活的联系，能用所学知识解决简单的实际问题。情感态度价值观培养学生良好的计算及验算的习惯，使学生感受数学与现实生活的联系。二、教学重点理解和掌握加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运 算定律进行一些简便运算。三、教学难点能灵活运用运算定律进行一些简便运算。四、教材说明和教学建议教材说明本单元
2、的主要内容是加法、乘法的交换律与结合律，乘法对于加法的分配律， 以及这五条运算定律的一些比较简单的运用。数学中，研究数的运算，在给出运算的定义之后，最主要的基础工作就 是研究该运算的性质。在运算的各种性质中，最基本的几条性质，通常称为“运 算定律”。也就是说，运算定律是运算体系中具有普遍意义的规律，是运算的基 本性质，可作为推理的依据。如根据运算定律来证明运算的其他性质， 根据运算 定律和性质来证明运算法则的正确性，等等。本单元所学习的五条运算定律，不仅适用于整数的加法和乘法，也适用 于有理数的加法和乘法。随着数的范围的进一步扩展，在实数甚至复数的加法和 乘法中，它们仍然成立。因此，这五条运算
3、定律在数学中具有重要的地位和作用，被誉为“数学大厦的基石”。学生在前面的学习中，已经接触到了反映这五条运算定律的大量例子， 特别是对于加法、乘法的可交换性、可结合性，这些经验构成了学习本单元知识 的认知基础。本单元分为三小节，内容结构如下：通过本单元的学习，可以加深学生对加法、乘法运算的理解，提高学生选择 计算方法的灵活性。同时，这五条运算定律在今后进一步的数学学习中， 还会继 续不断地发挥不可或缺的基础作用。本单元教材在编排上具有以下几个主要的特点。1. 有关运算定律的知识相对集中，有利于学生形成比较完整的认知结构。 将有关运算定律的知识集中于一个单元，加以系统编排，便于学生感悟知识之间的内
4、在联系与区别，有利于学生通过系统学习，构建比较完整的知识结 构。2. 从现实的问题情境中抽象概括出运算定律，便于学生理解和应用。本单元教材的一个鲜明特点是，不再仅仅给出一些数值计算的实例，让 学生通过计算，发现规律，而是结合学生熟悉的问题情境，帮助学生体会运算定 律的现实背景。如加法运算定律，教材安排了李叔叔骑车旅行的场景； 乘法运算 定律则安排了同学们植树的问题情境。 这样便于学生依托已有的知识经验， 分析 比较不同的解决问题的方法，引出运算定律。同时，教材在练习中还安排了一些 实际问题，让学生借助解决实际问题，进一步体会和认识运算定律。3. 重视简便计算在现实生活中的灵活应用，有利于提高学
5、生解决实际问 题的能力。本单元的第三小节，改变了以往简便计算以介绍算法技巧为主的倾向，着力引导学生将简便计算应用于解决现实生活中的实际问题，同时注意解决问题策略的多样化。这对发展学生思维的灵活性，提高学生分析问题、解决问题的能 力，都有一定的促进作用。五、教与学的建议加法运算定律1 遵循认知规律。教学时，应注意遵循由个别到一般，由具体到抽象的认知过程，引导学生由 感性认识上升到一定的理性认识。2 用好主题图。本节教材的三道例题，都是由主题图引出的。教学时，应充分利用主题图的 故事性，逐步生成连贯的情境，逐步生成后续的问题，使本节的教学在内容与表 现形式上都形成一个有机的整体。3注意引导学生用新
6、知识去理解以前学过的内容。本节的新知识在以前的数学学习中都有相应的认知基础，反过来，学了本节的新知识又可以促进学生，更深入地认识原来学过的知识与方法。 例如，交换加 数的验算方法，加法中的“凑整”计算，等等。过去只知道这样做，现在知道了 它们的依据。这种“再认识”对于加强新知识的巩固和记忆，也是很有帮助的。乘法运算定律本节教学乘法运算的交换律、结合律以及乘法对于加法的分配律。在数学基础理论中，自然数乘法的定义有多种方式。用“同数连加”定义乘 法，相对于其他各种定义，比较直观，容易描述，所以一直被小学数学教材所采 用。既然是同数连加，那么“相同加数”与“相同加数的个数”就是客观存在的， 非人为的
7、，至于分别叫做被乘数、乘数，还是统称为乘数或因数，则是人为的， 它们的书写位置也是人为的。因此，尽管我们在引进乘法时，不再规定两个乘数 的书写位置，但同数连加的定义本身与其他定义一样，都没有包含乘法的交换律， 所以教材在这里正式概括乘法交换律还是有必要的。乘法的交换律、结合律和分配律，除了从形式上抽象地加以证明之外， 也可 以依据“同数连加”的定义，借助直观作出说明。例如对于乘法交换律，可以通 过直观说明b个a连加与a个b连加的结果相等。又如关于乘法分配律，可用 a 个c加b个c等于（a+b）个c加以解释。在五条运算定律中，乘法的交换律、结合律与加法的交换律、结合律一样， 都是同一种运算的规律
8、。只有乘法分配律，沟通了乘法与加法的联系，因此具有 特殊的重要意义。教材以学生参加植树活动的情境为载体设置主题图，由图引出例1、例2和例3，为概括乘法交换律、结合律和分配律提供具体的事例。这样编排，能使学 生在解决问题的同时，发现、感悟、描述规律。三个例题在教学内容的处理上与教学加法运算定律的两个例题类似。例题后的“做一做”和练习六的习题基本上是针对三条乘法运算定律的理 解、巩固和应用设计的。这一节，虽然没有专设例题讲解运用乘法运算定律进行简便计算，但在得出乘法运算定律的例题中已有所孕伏， 在练习中也有所体现，使学生初步体验乘法 运算定律的运用。到下一节，再集中学习运算定律在解决实际问题和计算
9、中的应 用。简便计算在理解和掌握了五条运算定律的基础上，本节进一步学习整数四则运算中的 一些简便计算。教材一共安排了五道例题。例1和例2讨论加减法运算中常用的简便计算， 例3和例4讨论乘除法运算中常用的简便计算， 例5主要讨论乘、加运算中常用 的简便运算。也就是说，例1至例4只涉及同级运算，例5则涉及两级运算。在这五道例题中，例1和例3讨论的连减、连除运算中的简便计算，过去的 小学数学中也有同样的内容。教材主要着眼于通过不同解法的比较， 使学生认识 一个数连续减去或连续除以两个数，可以改为减去两个数的和或除以两个数的 积。这里并不要求概括为运算性质。相对而言，其他三道例题的问题情境较为新颖，解
10、决问题的策略较为灵活，在过去的小学数学教材中比较少见这样编排的意图主要是为了通过一些典型的、 紧密联系现实生活的例子，引 导学生根据运算特点和数据特点，灵活选用合理、简便的计算方法。因此，五道 例题所涉及的这些简便计算类型，只是一种载体和手段。换句话说，掌握例题所 涉及的这几种简便计算，是一种手段，目的是为了培养和提高学生灵活、 合理地 选择计算方法的习惯和能力。教学时，首先，要鼓励独立思考，尽可能地让学生自己探索不同算法。 其次, 注意组织互相交流，尽可能使个别学生的创见为其他同学共享。 第三，应当允许 学生自主选择，包括允许学生采用不同的探究方法， 选用不同的直观支撑，选择 自己喜欢的或适
11、合自身特点的计算方法。 第四，尊重学生的个体差异，在教学要 求的把握上，因人而异，区别对待。比如，本节教材的练习中，不少题目的指导 语是“怎样简便就怎样算”。由于“怎样简便”没有统一的标准，加上个人具体 情况的差异，很自然产生不同的评价判断，你认为简便的方法，他认为不简便。 因此，采用何种算法，允许学生自主选择，可以依据有关知识经验对算式进行变 形，也可以按运算顺序进行计算。六、教学中需注意的问题1 充分利用学生已有的感性认识，促进学习的迁移。对于小学生来说，运算定律的概括具有一定的抽象性。好在学生通过第一学 段的学习，对加法和乘法的一些运算规律已经有所了解， 这是搞好本单元教学的 有利条件。
12、在此基础上，本单元的教学应着重帮助学生把这些零散的感性认识上 升为规律性的理性认识。2 加强数学与现实世界的联系，促进知识的理解与应用。如前分析，本单元教材最明显的特点之一就是关注数学的现实背景，从社会生活中来，到社会生活中去，体现了数学教学回归社会、回归生活的愿望。因此, 领会教材的这一意图，用好教材，借助数学知识的现实原型，可以调动学生的生 活经验，帮助学生理解所学运算定律，构建个性化的知识意义。进而，凭借知识 意义的理解，也有利于所学运算定律的运用。3 注意体现算法多样化、个性化的数学课程改革精神，培养学生灵活、合 理选择算法的能力。对于小学生来说，运算定律的运用具有一定的灵活性， 对数学能力的要求较 高，这是问题的一个方面。另一方面，运算定律的运用也为培养和发展学生思维 的灵活性，提供了极好的机会。教学时，要注意让学生探究、尝试，让学生交流、 质疑。相应地，教师也应发挥主导作用，当学生探究时，仔细观察，认真揣摩学 生的思路，酌情因势利导，不失时机地给予适度启发；当学生交流时，耐心倾听, 洞悉学生的真实想法，加以必要的点拨，帮助学生讲清自己的算法，让其他同学 也能明白。# / 6
