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1、题型一圆锥曲线中的定点问题圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动这类问题的求解一般可分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标典例(2019成都一诊)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F(，
2、0)，长半轴的长与短半轴的长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标解(1)由题意得，c，2，a2b2c2，a2，b1，椭圆C的标准方程为y21.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立，得消去y可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)0，x1x2，x1x2.点B在以线段MN为直径的圆上，0.(x1，kx1m1)(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20
3、，(k21)k(m1)(m1)20，整理，得5m22m30，解得m或m1(舍去)直线l的方程为ykx.易知当直线l的斜率不存在时， 不符合题意故直线l过定点，且该定点的坐标为.方法技巧求解圆锥曲线中定点问题的2种方法(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关(2)直接推理法：选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k当成变量，将变量x，y当成常数，将原方程转化为kf(x，y)g(x，y)0的形式；根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组以中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的
4、限制条件，可以特殊解决针对训练如图，已知直线l：ykx1(k0)关于直线yx1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：y21分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.(1)求kk1的值；(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由解：(1)设直线l上任意一点P(x，y)关于直线yx1对称的点为P0(x0，y0)，直线l与直线l1的交点为(0,1)，l：ykx1，l1：yk1x1，k，k1，由1，得yy0xx02， 由1，得yy0x0x，由得kk11.(2)由得(4k21)x28kx0，设M(xM，yM)，N(xN，yN)，xM，yM.
5、同理可得xN，yN.kMN，直线MN：yyMkMN(xxM)，即y，即yxx.当k变化时，直线MN过定点.题型二圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题.其求解步骤一般为：一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等.二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，但是能整体约分也可以).三定值：化简式子得到定值.由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只须对上述式子进行
6、必要的化简即可得到定值.典例(2019沈阳模拟)已知椭圆C：1(ab0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值解(1)依题意知解得所以椭圆C的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2y1y2m，当直线MN的斜率存在时，设其方程为ykxn，则点O到直线MN的距离d ，联立，得消去y，得(4k23)x28knx4n2120, 由0得4k2n230，则x1x2，x1x2，所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k
7、21)x1x2kn(x1x2)n2m，整理得12.因为d 为常数，则m0，d ，此时12满足0.当MNx轴时，由m0得kOM1，联立，得消去y，得x2，点O到直线MN的距离d|x|亦成立综上，当m0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.方法技巧圆锥曲线中定值问题的特点及2大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值(2)两大解法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；引进变量法：其解题流程为针对训练已知F1，F2分别为椭圆：1(b0)的左、右焦点(1)当b1时，若P是椭圆上一点，且P位于第一象限，求点P的坐标；(2)当椭圆的焦距为2时，若直线l：ykxm与椭圆相交
8、于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且3x1x24y1y20，证明：AOB的面积为定值(O为坐标原点)解：(1)当b1时，椭圆方程为y21，则F1(，0)，F2(，0)设P(x，y)(x0，y0)，则(x，y)，(x，y)，由，得x2y2.结合y21，x0，y0，解得x1，y，所以点P的坐标为.(2)当椭圆的焦距为2时，c1，则b2a2c23，椭圆的方程为1.由消去y并整理，得(34k2)x28kmx4m2120.则64k2m216(34k2)(m23)48(34k2m2)0，即34k2m20.又x1x2，x1x2，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，由
9、3x1x24y1y20，得340，即2m234k2.因为|AB|x1x2|，点O到直线AB的距离d，所以SAOB|AB|d，即AOB的面积为定值，其定值为.题型三构造目标不等式解决范围问题欲求变量的取值范围，可设法构造含有变量的不等式(组)，通过解不等式(组)来达到目的.典例已知A是椭圆E：1(t3)的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围解(1)由|AM|AN|，可得M，N关于x轴对称，由MANA，可得直线AM的斜率k为1.因为t4，所以A(2，0)，所以直线AM的方程为
10、yx2，代入椭圆方程E：1，可得7x216x40，解得x2或x，所以M，N，则AMN的面积为.(2)由题意知t3，k0，A(，0)，将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.设M(x1，y1)，则x1()，即x1，故|AM|x1|.由题设知，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此t.由t3，得3，所以0，即0.由此得或解得k2.因此k的取值范围是(，2)圆锥曲线中范围问题的5个解题策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围
11、，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围针对训练(2019豫南九校联考)设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A.已知|OA|OF|1，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程及离心率e的值；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围解：(1)由题意可
12、知|OF|c，又|OA|OF|1，所以a1，解得a2，所以椭圆的方程为1，离心率e.(2)设M(xM，yM)，易知A(2,0)，在MAO中，MOAMAOMAMO，即(xM2)2yxy，化简得xM1.设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120，解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知F(1,0)，设H(0，yH)，则(1，yH)， .由BFHF，得0，即0，解得yH，所以直线MH的方程为yx.由消去y，得xM.由xM1，得1，解得k或k，所以直线l的斜率的取值范围为.题型四构造函数模型解决最值问题若
13、题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，常构建的函数模型有：(1)二次型函数；(2)双曲线型函数；(3)多项式型函数.典例(2019河南郑州一模)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax2byab0相切(1)求椭圆C的离心率e；(2)如图所示，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若 PQF2的周长为4，求的最大值解(1)由题意知c，则3a2b2c2(a24b2)，即3a2(a2c2)c2a24(a2c2)，所以a22c2，所以e.(2)因为PQF2的周长为4，所以4a4，即a.由(1)知b2c21，故椭圆C方程为y21，且焦点F1(1，0)，F2(1,0)若直线l的斜率不存在，则可得lx轴，方程为x1，P，Q，故.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，由消去y，得(2k21)x24k2x2k220.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为(x11，y1)(x21，
