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1、空间向量在立体几何中的应用考纲解读考点内容解读要求高考不例常考题型预测热度空间向量 及其应用理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平 面、平面与平面的垂直、平行关系；能用向量方法证明有关直线和平面位置关系 的一些定理(包括三垂线定理);能用向量方法解决直线与直线、直线与平 面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用掌握2017 浙;X,9;2017课标全国口，19;2017 天津，17;2017 江苏,22;2017 北京，16;2017 浙yX ,19;2017 山东,17;2016课标全国W ,19;2016 山东，17;2016
2、浙yX ,17;2015 课标 口,19;2014 陕西，17;2013课标全国口，18解答题分析解读 1.能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题；会求线线角、线面角；会求点点距、点面距等距离问题 ，从而培养用向量法思考问题和解决问题的能力.2.会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题，从而培养准确无误的运算能力3本节内容在高考中延续解答题的形式，以多面体为载体，求空间角的命题趋势较强，分值约为12分，属中档题.五年高考考点空间向量及其应用1.(2017 江苏,22
3、,10 分)如图，在平行六面体 ABCD-A 1B1C1D1 中,AA1,平面ABCD,且 AB=AD=2,AA 1=, ZBAD=120 (1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.解析 在平面ABCD内,过点A作AE必D,交BC于点E. 因为AA1,平面ABCD,所以 AA1AE,AA 1LAD.如图，以,为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz.因为 AB=AD=2,AA 1=, ZBAD=120则 A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),A1(0,0,),。1(,1,).=(,-1,-),=(,1,),贝U cos=因此
4、异面直线AiB与ACi所成角的余弦值为(2)平面AiDA的一个法向量为=(,0,0).设m=(x,y,z)为平面BAiD的法向量，又=(,-1,-),=(-,3,0),则不妨取x=3,则y=,z=2,所以m=(3,2)为平面BAiD的一个法向量 从而 cos=.设二面角B-AiD-A的大小为。，则|cos 9|=.因为9 0,无,所以sin 9=.因此二面角B-AiD-A的正弦值为2.(20i7北京，i6,i4分)如图，在四才锥 P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD，平面ABCD,点M在线段PB上,PD /平面MAC,PA=PD=,AB=4.求证:M为PB的中点；求二面角B-PD-
5、A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.解析(i)设AC,BD交点为E,连接ME.因为所以PD /平面MAC,平面 MAC n 平面 PDB=ME, PD ME.因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点. 所以M为PB的中点.取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OP必D.又因为平面 PAD，平面ABCD,且OP?平面PAD,所以OPL平面ABCD.因为OE?平面 ABCD,所以OP1OE.因为ABCD是正方形，所以OESD.如图建立空间直角坐标系 O-xyz,则 P(0,0,),D(2Q0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2Q-).设平面BDP的法向
6、量为n=(x,y,z),则即 令 x=1,贝 U y=1,z=.于是 n=(1,1,).平面PAD的一个法向量为 p=(0,1,0).所以 cos=.由题意知二面角B-PD-A为锐角，所以它的大小为(3)由题意知 M,C(2,4,0),=.设直线MC与平面BDP所成角为& ,贝U sin a=|cos|=.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.3.(2017课标全国口，19,12分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC=AD, ZBAD= /ABC=90 ,E是PD的中点.(1)证明：直线CE /平面PAB;点M在才受PC上,且直线BM与底面
7、ABCD所成角为45 ,求二面角M-AB-D的余弦值.解析 (1)取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点所以EF /AD,EF=AD.由/BAD=BC=90。得BC/AD,又BC=AD,所以EF BC,四边形BCEF是平行四边形，CE/BF,又BF?平面PAB,CE ?平面PAB,故CE / 平面PAB.(2)由已知得BA必D,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0Q0),B(1Q0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).设 M(x,y,z)(0x1),则=(x-1,y,z),=(x,y-1
8、,z-).因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面 ABCD的法向量，所以 |cos|=sin 45 ,=,即(x-1) 2+y2-z2=0.又M在中程PC上，设=%则x=%y=1,z=- %由，解得(舍去)，或所以M,从而=.设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m=(0,-,2).于是 cos=.易知所求二面角为锐角.因此二面角M-AB-D的余弦值为.4.(2016 课标全国 W ,19,12 分)如图，四棱锥 P-ABCD 中,PA，底面 ABCD,AD /BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段 AD 上一点,AM=2MD,N
9、为PC的中点.证明MN/平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解析 (1)由已知得AM=AD=2.4t取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN /BC,TN=BC=2.（3 分）又AD /BC,故TN AM,故四边形AMNT为平行四边形，于是MN /AT.因为AT?平面 PAB,MN ?平面 PAB,所以MN /平面PAB.（6分）取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE JBC,从而AE 1AD,且AE=.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.由题意知，P（0,0,4）,M（0,2,0）,C（,2,0）,N,=（0,2
10、,-4）,=,=.设n=（x,y,z）为平面PMN的法向量，则即（10分）可取 n=（0,2,1）.于是 |cos|=.即直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.（12分）教师用书专用（5 25）上的点,AP=PB,=2.分别记5.（2017浙;X ,9,5分）如图，已知正四面体 D-ABC（所有棱长均相等的三棱锥）,P,Q,R分别为AB,BC,CA二面角 D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P 的平面角为 a , 0, 丫,则（）A. y a 0 B. a y 0 C. a 0 丫 D. 0 y a 答案 B6.(2014广东,5,5分)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与 a成60
11、夹角的短)A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)答案 Bx,y R,|b-(xe 1+ye2)闫b-7.(2015浙yX,15,6分)已知e1,e2是空间单位向量，e1e2=.若空间向量b满足b e1=2,b e2=,且对于任意(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0 的，贝U xo=,y0=,|b|=.答案 1；2;2cap=a,8.（2017山东,17,12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转 120 得到的,G是的中点.设P是上的一点，且AP 1BE,求/CBP的大小；当AB=3,AD=2时，
12、求二面角E-AG-C的大小.解析 (1)因为 AP JBE,AB 1BE,AB,AP ?平面 ABP,AB 所以BE,平面ABP,又BP?平面 ABP,所以 BE JBP,又/EBC=120 :因止匕/CBP=30 ;(2)解法一：取的中点H,连接EH,GH,CH.因为/EBC=120 ;所以四边形BEHC为菱形,所以 AE=GE=AC=GC=.取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EM 必G,CM 必G,所以/EMC为所求二面角的平面角.又 AM=1,所以 EM=CM=2.在ABEC 中，由于/EBC=120 ,由余弦定理得 EC 2=22+22-2 X2X2Xcos 120 =12,所以E
13、C=2,因此4EMC为等边三角形，故所求的角为60.解法二：以B为坐标原点，分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得 A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,3),C(-1,0),故=(2,0,-3),=(1,0),=(2,0,3),设m=(x i,y i,zi)是平面AEG的法向量.由可得取zi=2，可得平面 AEG的一个法向量 m=(3,-,2).设n=(x2,y2,z2)是平面 ACG的法向量.由可得 取Z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,-,-2).所以 cos=.易知所求角为锐二面角，因此所求的角为60:9.(20i5 课标
14、 U,i9,i2 分)如图，长方体 ABCD-A iBiCiDi 中,AB=i6,BC=i0,AA i=8，点 E,F 分别在 AiBi,DiCi 上,AiE=D iF=4.过点 E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(i)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由 (2)求直线AF与平面a所成角的正弦值.解析(i)交线围成的正方形 EHGF如图：)；(2)作 EM1AB,垂足为 M,则 AM=A iE=4,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=i0.于是MH=6,所以 AH=i0.为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则即所以可取n=(0,4,3).又=(-10,4,8),故 |cos|=.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为10.(2016山东,17,12分)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆。的直径，EF是上底面圆。的直径，FB是圆台的一条母线 (1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求
