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1、.本科学生毕业论文浅谈不定积分的解题方法摘要本文介绍求不定积分的若干方法：直接积分法,换元积分法,分部积分法和有理函数积分法等,结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性.关键词：不定积分;直接积分法;还原积分发;分部积分法;有理函数积分法 ABSTRACTThere are three solution of indefinite integration in this paper: direct integration, exchangeable integration, parcel integration. It discussed the feasibility which th
2、ese ways in the solution of indefinite integration, combine with real examples.Key words: Indefinite integral; Direct integral method, Change yean integral method and the division of integral method目录1 引论12 不定积分12.1 不定积分定义12.2 经典例题13 直接积分法24 换元积分法24.1 第一换元积分法3 4.1.1 凑微分法3 4.1.2常用凑微分法公式4 4.2 第二换元积分法4
3、 4.2.1根式代换法5 4.2.2 三角代换5 4.2.3 倒代换65 分部积分法7 5.1分部积分法7 5.2 积分的关键76 有理函数积分法76.1有理函数积分法76.2分式有理函数87 结论10参考文献11.1 引论微积分是高等院校的一门重要基础课程,当代著名数学家柯朗1曾指出微积分和数学分析是人类思维的伟大成果之一,它处于自然科学与人文科学之间的地位,使它成为高等数学的一种特别有效的工具. 不定积分是数学分析的基本内容和主要内容,不定积分也是微分学和积分学的联系纽带. 不定积分的一个重要内容,不定积分的解法不像徽分法有一定的方法可循.求不定积分思维方灵活多样,它要根据不同题型特点采取
4、不同的解法,不定积分运算是微分运算的逆运算. 下面把常用的不定积分的解法分类归纳,以便学生更好地掌握,求解不定积分的常规方法有：直接积分法,换元积分法,分部积分法和特殊积分法. 而实际运用中使用较多的是换元积分法和分部积分法,分部积分法是学生学习的一个难点, 掌握不定积分的解法比较困难,但是求导相对容易,因为只要熟记了基本初等函数的导数公式、掌握了导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则,就可以求出任何函数的导数.可是不定积分就没有这么容易,第一是没有适用于一切初等函数不定积分的方法,第二是许多初等函数的原函数本身就不是初等函数, 而出现不定积分存在但是求不出来的情况.2 不定积分2.1不定积
5、分的定义不定积分的定义2若在某以区间上则在这个区间上函数F叫函数的原函数. 我们把函数的原函数的一般表达式称为的不定积分.记为,亦即 ,其中是的一个原函数,C为任意常熟,又称是被积函数,为积分变量,C为积分常数,记号:为积分号.例1 求多项式的积分 解 利用积分的运算法则,有原式. 3 直接积分法直接积分法3就是利用积分公式和积分的基本性质求不定积分的方法,直接积分法的关键是把被积函数通过代数或三角恒等变形,变为代数和,再逐项积分. 直接积分法的关键4是： 熟练的掌握积分的基本公式和运算法则是关键,也是学习不定积分的基本要求,由于求不定积分和求导数互为逆运算,因此基本积分公式是与基本微分公式对
6、应的积分公式 在基本微分公式较熟悉的前提下,基本积分公式是不难记住的 .例2 求分析：基本关系中没有关于的积分,但是由于他相关的积分,于是,把来表示,然后代入公式：解 . 例3 求解 原式.例4 求解.例5 求解 被积函数有不同三角函数和可利用倍角公式为 .4 换元积分法换元积分法,就是通过适当的变量代换,把积分转化为积分表中的类型或容易积分的形式,换元积分法包括第一换元积分法及第二换元积分法. 4.1 第一换元积分法第一换积分法5又称凑微分法在求积分,如果它可的形式时,可作变量代换u=h则,此时而又可直接积分得,最后再将u换回即可运算形式下:第一换元积分法的关键4是将被积表达化 再选择变量代
7、换. 第一换元积分法的关键4是:将被积表达式凑成两部分,一部分为复合函数,其中外函数为基本公式的一个函数类,另一部分为内数的微分,这里要注意系数的调整 .例6 求分析 其中外函数为幂函数,内函数为.解 原式.凑微分法6可概述为：凑微分；可积出,则积出；积不出,则分部之不定积分等于与之积减去和交换位置的不定积分.注意：1 可积出ax幂函数与指数函数,对数函数,正弦函数,余弦函数之积的不定积分只须取x的幂函数作即可积出.b x幂函数与反三角函数的积的不定积分只须取反三角函数作即可积出. 指数函数同正弦正数、余弦函数之积的不定积分则可以任取一种函数即可积出. 2 积不出多项式与指数函数,对数函数,正
8、弦函数,反三角函数的乘积的不定积分. 例7 求解 根据不定积分的运算性质,得4.1.2 常用的凑微公式常用的凑微公式主要有： ；.例8 解 令,则.4.2 第二换元积分法一般地,如果在积分中,令,且可导,则有若该式右端易求出原函数,则得第二类换元法7积分公式其中为的反函数, .第二类换元法关键：是要引入适当的新的积分变量,将原来的不定积分转化成为对新的积分变量的积分 然而,如何引入新的积分变量一般没有什么规律可循,只有一条大原则,就是引入新的积分变量后,要使新的不定积分比原来的不定积分较易求出 这样,问题也就比灵活,也比较困难 在教学时,我将这个问题作了一些归纳总结,如何引入新的积分变量可大致
9、归结为下列三种方法. 4.2.1根式代换法根式代换法4的原则是将被积函数中含有的某个根式作为一个新的积分变量,即将被积函数中含有的某个根式用一个新的积分变量代换后,使其在新的被积函数中不再含有根式. 例9 求解 根据上述原则,须引进一个新的积分变量使其在新的被积表达式中不再含有根式,显然,只须引入变量,则可以达到上述目的, 令,则.4.2.2 三角代换三角代换法8的原则是通过引入适当的三角代换把被积表达式中之根号去掉,转化成为三角有理函数之积分 被积函数中若含有根式,或都可用三角代换法解决 三角代换法的一般方法如下:被积式含有的根式三角代换 s例10 求 解 令,则,于是4.2.2 倒代换所谓
10、倒数代换法7就是将积分变量用一个新的变量的倒数去代换,将其被积表达式化简 一般地,形如； ； ； 等积分均可作倒数代换. 例11 求 解 令原式 得 . 5 分部积分法5.1分部积分法分部积分法9主要用于解决被积函数的两种初等函数的乘积或单一个函数的不定积分的分部积分公式:.5.2积分的关键选取哪个因子当作是键,选择不当不仅不会使积分由复杂到简单,反而更复杂 选要按以下顺序进行口对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数. 例12 求分析 被积函数是幂函数与对数函数的乘积,由的选取顺序,.解 原式.例13 求分析 被积函数是幂函数与三角函数的乘积,由,的选取顺序,令解 原式 .6 有理函
11、数6.1有理函数有理函数2设P和Q是两个多项式,则成形如的函数为有理函数 如：等都是有理函数 下面为我们讨论有理函数的积分方法的一般方法.6.2 分式有理函数把真分式分解为简单分实质和的方法归结起来,主要由以下两点： 若Q有一个k重实根a,则分解时必含有分式 ,其中A1,A,2Ak为待定系数； 若Q有一对k重共轭复根和,这时Q必有因子,其中则分解师比含有分式,其中都是待定系数 .由此可见,任何一个真分式都可以分解成若干个简单的部分分式之和,而这些简单分式不外乎以下四种类型：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .其中都是常数,并设二次三项式没有实根,即于是,求任何一个真分式的不定积分问题也就化
12、成以上四种类型的积分,现在,分别求出如下： 这个积分早已会求,它是2 这个积分早已会求,它是由分出完全平方项,从而有,最后一个括号中的表达式为一正数,不妨记为 现在作代换,于是,其中为常数,代回变量x,就有.例14 求解 利用部分分时,即可求得.例15 求 解 这是被积函数的次数高于分母的次数,因此首先用除法写成即可求得.结论 上面所介绍的不定积分的解题方法都是常用的方法,根据被积函数的结构特点采取上述所给出的方法去解题,同时要学会用一些技巧把所求的复杂的题目变成我们所熟悉的,简单的方法解题 因此,需要我们去多做些练习来增长我们的做题技巧和方法,能在做题时顺心应手,面对各种求不定积分计算问题都
13、能迎刃而解. 参考文献1 范梅.不定积分的分部积分法探究J XX,XX航空学院学报2015,166. 2 欧阳光中,朱学炎,金福临,陈传璋.数学分析M,第三版,上册 北京:高等教育出版社,2007. 3 辛春元.浅析不定积分的解题方法J.XX:XX对外经贸学院,2008:815143-145. 4 高超.浅谈不定积分基本解题方法J.XX:林区学报,2011,12:268-269. 5 何挺.不定积分三种基本解题方法归类J.XX师范学报,2004,4:78-80. 6 郞开禄.谈谈求不定积分两种解题方法J.XX师范学报,1986,3:69-71. 7 王晗宁.浅谈不定积分的解法J.中国商报,20
14、10,2:15-16. 8 马文素.浅谈不定积分积分方法J.XX:XX师专学报,2006,5:45-47. 9 华东师范大学数系,数学分析M.北京:高等教育出版社,1991. 致谢词 非常感谢老师在我大学的最后阶段毕业论文写作给予指导,通过老师的细心点拨,使我在对这次论文的写作有了明确的方向,从资料收集,到写作,修改,到论文定稿,她给了我耐心的指导和无私的帮助,是我在写作过程中的问题与不足都被老师一一发现并进行指正 如今,伴随着这篇毕业论文的最终成稿,复杂的心情烟消云散,自己甚至还有一点成就感 同时,感谢所有任课老师和所有同学在这几年里给我的指导和帮助,是他们教会了我专业知识,教会了我如何学习,教会了我如何做人 正是由于他们,我才能在各方面取得显著的进步,在此向他们表示由衷的感谢 .
