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1、新教材适用高中必修数学第二章 点、直线、平面之间的位置关系学案 新人教A版必修221空间点、直线、平面之间的位置关系21.1平面平面提出问题宁静的湖面、海面；生活中的课桌面、黑板面；一望无垠的草原给你什么样的感觉？问题1：生活中的平面有大小之分吗？提示：有问题2：几何中的“平面”是怎样的？提示：从物体中抽象出来的，绝对平，无大小之分导入新知1平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为
2、了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图.3平面的表示法图的平面可表示为平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.化解疑难几何里的平面有以下几个特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；平面的基本性质提出问题问题1：若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？提示：在桌面上问题2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上问题3：两张纸面相交有几条直线？提示：一条导入新知平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A
3、l，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，Pl，且Pl化解疑难从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系(1)点P与直
4、线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.解(1)点P直线AB；(2)点C 直线AB；(3)点M平面AC；(4)点A1平面AC；(5)直线AB直线BC点B；(6)直线AB平面AC；(7)平面A1B平面AC直线AB.类题通法三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别活学活用1根据下列符号表示的语句，说明点
5、、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.解：(1)点A在平面内，点B不在平面内，如图(1)；(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2)；(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q，如图(3)点、线共面问题例2证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内解已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内证法1：(纳入平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.又Bl3，Cl3，l3.直线l1、l2、l3在同一平面内证
6、法2：(辅助平面法)l1l2A，l1、l2确定一个平面.l2l3B，l2、l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A、B、C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内类题通法证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，再证平面与重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”活学活用2下列说法正确的是()任意三点确定一个平面圆上的三点确定一
7、个平面任意四点确定一个平面两条平行线确定一个平面ABC D解析：选C不在同一条直线上的三点确定一个平面圆上三个点不会在同一条直线上，故可确定一个平面，不正确，正确当四点在一条直线上时不能确定一个平面，不正确根据平行线的定义知，两条平行直线可确定一个平面，故正确.共线问题例3已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如图所示求证：P，Q，R三点共线证明法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上P，Q，R三点共线法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又AB
8、P，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三点共线类题通法点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上活学活用3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线证明：如下图所示，连接A1B，CD1.显然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1.BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.平面ABC1D1平面A1BCD1B
9、D1.A1C平面ABC1D1Q，Q平面ABC1D1.又A1C平面A1BCD1，Q平面A1BCD1.QBD1，即B，Q，D1三点共线典例如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23.求证：EF，GH，BD交于一点解题流程欲证EF、GH、BD交于一点，可先证两条线交于一点，再证此点在第三条直线上.由DFFCDHHA23可得GEFH且GEFH，即EFHG是梯形，由此得到GH与EF交于一点证明E、F、H、G四点共面EFHG为梯形GH和EF交于一点O证O平面ABDO平面BCD平面ABD平面BCDBDOBD得出结论. 规范解答因为E，G分别为BC
10、，AB的中点，所以GEAC.又因为DFFCDHHA23，所以FHAC，从而FHGE.GEFH.(4分)故E，F，H，G四点共面又因为GEAC，FHAC，所以四边形EFHG是一个梯形，设GH和EF交于一点O.(6分)因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，(9分)且交线只有这一条，所以点O在直线BD上(10分)这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点(12分)名师批注如何证明四点共面？,根据公理2的推论可知，本题可利用HFGE即可确定E，F，H，G四点共面.为什么GH和EF交于一点？,因为E，F，H，G四点共面，且GE
11、綊AC，HF綊AC，所以GEHF且GEHF，即EFHG为梯形，梯形两腰延长线必相交于一点.怎样确定第三条直线也过交点？只要证明交点在第三条直线上，这条直线恰好是分别过GH和EF的两个平面的交线. 活学活用如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上证明：EFGHP，PEF且PGH.又EF平面ABD，GH平面CBD，P平面ABD，且P平面CBD，又P平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，由公理3可得PBD.点P在直线BD上随堂即时演练1若点Q在直线b上，b在平面内，则Q，b，之间的关系可记作()AQbBQb
12、CQb DQb解析：选B点Q(元素)在直线b(集合)上，Qb.又直线b(集合)在平面(集合)内，b，Qb.2两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A相交 B重合C相交或重合 D以上都不对解析：选C若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合3下列对平面的描述语句：平静的太平洋面就是一个平面；8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚；四边形确定一个平面；平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集其中正确的是_解析：序号正误原因分析太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的平面是无大小、无厚薄之分的如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面平面是空间中点的集合，是无限集答案：4设平面与平面交于直线l，A，B，且直线ABlC，则直线AB_.解析：l，ABlC，C，CAB，ABC.答案：C5将下列符号语言转化为图形语言(1)a，bA，Aa.(2)c，a，b，ac，bcP.解：(1)(2)课时达标检测一、选择题1用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是()AAl，lBAl，lCAl，l DAl，l解析：选B注意点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合间的关系，直线与平面之间的关系是集合与集合间的关系2(2012福州高一检测)下列说法正确的是()A三点可以确定一个平面B一条直线和一个点可以确定一个平面C四边形是平面图形
