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1、第四章向量一内容概要1向量的概念：（1）定义；（2）与矩阵之间的关系；（3）向量的相等；2向量的运算：（1）向量的和、差；（2）向量的数乘；（3）向量的线性运 算；3向量组的线性关系（1） 线性组合：对于给定的向量组：d2，；如果存在一组数灯,ks使得：1 二人：k2-2 kss则称向量：是向量组：-!， 2，s的一个线性组合，或称：可以由向量组：s，2, s,线性表示；（2）线性相关、线性无关的定义设1,2, s，是一组n维向量（当然是同型），如果存在一组不全为0的数k/,k /12s1 s使得：匕冷k. -&-=022则称向量组，线性相关2s指出，这里一定要注意关键词：（1）它是不全为0的
2、数灯，k ；（ 2）存s在；至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。反之则称向量组1,-2,，s，线性无关，即若要k1k2：2ks： s=0成立，必有& = k2二=、=0，则称向量组_6,-：辽,，二s,线性无关。（3）向量组的线性相关性与方程组之间的关系向量组,1，2，s，线性关系式k1k22 kss=0具体表示出来实际上就是一个方程组:&软1+3占+821X1 822X2 I +a1sXs =0 a2sXs = 0am1X1am2X2amsXs 一 0其中：a. = (%忌，amjT, j=1,2，m因此，通俗的话来说，向量组:1, : 2/人-s线性相关的充要条件是：上述方程组有非0
3、解。这是判断一个向量组2,，- s是否线性相关最常用的方法。(2) 向量回被向量组，-2，,-慧性表示与方程组AX =有解的关系设A =令，心,，：二b|,b2,bm,心的意义同上，则方程组AX =:可表示成：xv1-X2： -AXAA =：，或aux, +印 2 乂 2+.+amXn2X1 +22X2 卡+a2nXn =b2am1X1am2X2amnxA bm因此向量可被向量组，：2，-慧性表示的充要条件是方程组AX=1有解。如果有唯一的解，则可被向量组，线性表示，且表示法是唯2n的。如果方程组有无穷多组解，则可被向量组，-线性表示，且表示法有无穷多2n种，此时向量组，-线性相关。2n如果方
4、程组无解，则1不能被向量组2，-线性表示。4关于向量组的等价(1)设向量组 I： 1, - 2/，- s； II -1，-2 /，-t；如果向量组u中每一个向量-户以被向量组I线性表示，则称向量组I可被向量 组I线性表示。用式子表示就是：$=kl+k2+.+匕叫-2=k21-： 1*k22-： 2 *k2ssI.：t 二 kt1： 1kt22、： 如果I与I能相互线性表示，则称向量组I与I等价。 如果向量组I与U等价，且U与川等价，则I与川等价；这就是说，等 价具有传递性;(4)设 A =a?系列初等行变换02B-，则 0(10(2,件国与优，B2pm等J价;右 A=A A2系列初等列变换B
5、= BQ?则向量组A,A2,，代与Bj,B2,，Bn等价;5向量组的极大线性无关组(1) 极大线性无关组的定义向量组I: :2/ s的一个部分组：飞，二j本身是线性无关的，其r/次再任意添进去一个都线性相关，则称讥，冷2,，ir是向量组I: :,1, 2/s的一个极大线性无关组;特别注意：1一个向量组若仅含有一个0向量，此时不存在极大线性无关组，或称其极大线性无关组所含有向量的个数为0； 2若向量组本身是线性无关的， 则其极大线性无关组就是该向量组本身；3一个向量组的极大线性无关组可能不止一组，可能有很多组；4如果向量组川与U都是向量组I的极大线性无关组，那么 这两个向量组U与川是等价的，因而
6、所含有的向量的个数是相同的；6向量组的秩(1)向量组秩的定义：向量组I： : ，2，? s的极大线性无关组所含有 的向量的个数称为向量组I的秩；(2)设：I : : -1, -/，: s,n1, 2 t，若可以被u线性表示，则2s n -2/ _LIUr(【)沁n);(3) 若向量组I与U等价，则其秩相同，即等价的向量组其秩是相同的；但注意反之是不能成立的，即两个向量组的秩相同，但未必等价。7关于线性相关性常用的结论若一个向量组仅含有一个向量，且=0则此向量组是线性无关的;若一个向量组含有0向量，则此向量组一定线性相关； 若一个向量组仅含有两个向量，则此向量组线性相关的充要条件是对应分(4)量
7、成比例;向量组I：令，2, s线性相关的充要条件是：至少有一个向量可被其余向量线性表示;若向量组I：,线性无关，而向量组:2s，,2s，-线性相关，则向量一定可以被2/s线性表示，且表示式是唯一的;(6)若向量：一定可以被)令，s线性表示，且表示式是唯一的，则向量组I：,一定线性无关;s若I:! -2/, - s中有部分组线性相关，则原向量组一定线性相关；若原向量组I： : !,2/s线性无关，则它的任意一个部分组也线性无 关;若,2 / s可被向量组打，1 2 / , _t线性表示，且st,则I:2/ . s必是线性相关的；即多的能被少的线性表示，则多的向量组， ：s一定线性相关；这个定理是
8、比较重要的。若I：)令，?是一个n维向量组，且sn,则此向量组一定线性相关；这是因为I：1,2?示；例如：在三维几何空间中，任意四个向量都是线性相关的，而在二维空间平面 任意三个向量都是线性相关的;(10)若 I：线性表示，且i线2/, - s可被向量组, :t性无关，则必有Sd;这只要反证即可：即若st，贝U应用上面的结论，贝打线性相 关，与条件矛盾；(11)若I:-1，-2，-s与向量组1: 1，:2/，-t是等价的，且这两个向量组都是线性无关的，则必有s=t ;这只要应用上面的结论即可；(若，:1， - 2/，- S与向量组:, ：2/，是等价的，则其秩相同。这是因为I与I等价，那么它们
9、的极大线性无关组也是等价的，因而其秩相同；从 而向量组I的不同的极大线性无关组所含有向量个数相等；勺11 Fs (13)若 I:：1 二3210t2=322 a s =?s 线性无关，则它的延伸组_3msl3m1 Jl3m2 J)a11a12a1sa21a22a2sI：?2: s也必是线性无关，反之若I线性相关,amiam2J则原向量组也必是线性相关；事实上，这只要考虑方程组I：X1： 1X2： 2Xs： s=0与方程组I： X1： 1 x2： 2Xs： s=0的解集关系即可。显然Z( I )Z( I)若向量组I：_1, _ 2/，：s线性无关Z( I)=(0,0，0)1又(0,0/ ,0)
10、Z( I),故 Z( I)(0,0,0)1 ；另一个同理可证。an3佰(14)设 I：321322:1a132 m，则I：:1，2,mm线性无关的充要条件是:ana12a1mA = 212292mam1am2 a mm证明：设+X2G2十+xsas=0若I： : ., 2，- ,线性无关=上述方程组仅有解二入=0,反之也成立；由这个结论可以得到一个常见问题的一般解法：例如，三个三维向量%= 1，Ot2 =52 14要判断它是否线性相关，这只要考虑A = 155是否为0即可，如果等于4 6 70,那么它是线性相关的，若不是,则是线性无关的。8关于向量空间（数一用）（1） 定义：设V是一个n维向量
11、的一个集合，且非空，如果集合V中的向量 对于向量的加法，和数乘仍然还在集合V中，即对于任意的ot,+ p V,eV则称V是一个向量空间。（2）关于向量空间的例：例1 Vj=vX | AX =0,A =（即 边，则V是一个向量空间，通常称为方程组AX=0的解空间；这是因为：对于任意:,:A： =0,A： =0二 AZ f ； i： A： A =0,A （k： ） =0 ，三 Mk： V.例2： VAkr1kAkAs|其中，kj是实数6则，是一个向量空间，通常称为由向量组：1, -2/, _s生成的向量空间；例3 V3，X|其中X是AX 一 b的解，且b = 01,则乂不是一个向量空间A 、 A-
12、 - b b = b，:-从这是因为：，三 V3 = A： - b, A - b= A (、；而，、：，-V3-例4通常所说的三维几何空间满足上述空间的要求。最常见的向量空间是实数域上n维向量的全体构成的集合，记为V=Rn。(3) 子空间如果W,V都是n维向量空间，且W5V，则称W是V的子空间。例如，上述的例1中V是V = Rn的一个子空间，例3也是；(4) 基、维数、与坐标基的定义：设V是一个向量空间，如果：1, - 2/s, V,且满足：-1, -2,s线性无关，V中的任意一个向量都可以被其线性表示，则称向量组：1, 2/ , -s是V的一组基。例如：在 V =Rn 中；1 = 1 00,
13、 ；2 = 0 10 / ；n = 0 01是V的一组基，通常称为是V二Rn的自然基。一个向量空间中可能有很多组基，例如在上述的例 1中V就有很多组基，每 1一个基础解系就是它的一组基；在V=Rn中除了自然基外，还有其他的基。一般地，向量空间V中不同基中所含有向量的个数是相同的。维数：在向量空间V中，一组基中基向量的个数称为向量空间V的维数；例如：在V =Rn中，基向量的个数是n个，所以V二Rn称为是n维向量空间，而在上述 的例1中,V的基(基础解系)向量的个数是n-r个，所以V是 n-r维向量空间。坐标：设：1，-2/， 是V的一组基，是V中的任意一个向量，若：X22Xn则称X1,X2,，Xn是向量：在基1，2/ n下的坐标。注意：同一个向量在不同的基下的坐标是不同的。(5) 向量空间V中两组不同的基之间的关系：(基变换)设，:与：，2 n* 2.分别是V的两组基，若 :n或者表示为:12勺1，12.ai na21，22.a2n&1a nn /勺刀11印2ai na21a22八a2n卫门1an2 .”a nn:n是由基:n入,则称A =j J,，的过渡矩阵。岸=+a21a2十八2 二印 2 口+an1Gn1 +322 口 2+. +an2n= a1n1 *a2nA2 +* ann n
