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1、第三讲 含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。(一)、公式法:即利用与的解集求解。 主要知识:1、绝对值的几何意义:是指数轴上点到原点的距离;是指数轴上,两点间的距离.。2、与型的不等式的解法。当时,不等式的解集是不等式的解集是;当时,不等式的解集是不等式的解集是;3与型的不等式的解法。把 看作一个整体时,可化为与型的不等式来求解。当时,不等式的解集是不等式的解集是;当时,不等式的解集是不等式的解集是;例1 解不等式分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这
2、种解法还运用了整体思想,如把“”看着一个整体。答案为。(解略)(二)、定义法:即利用去掉绝对值再解。例2解不等式。分析:由绝对值的意义知,a0,a0。解:原不等式等价于0x(x+2)0-2x0。(三)、平方法:解型不等式。例3、解不等式。二、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。例4 解不等式。分析:由,得和。和把实数集合分成三个区间,即,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论。说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;(2)这种解法又叫“零点分区间法”,即通过令每一个绝对值为零求得零点,求解应注意边界值。三、几何法:即转化为几何知识求解。例5 对任何实数,若不等式恒成立,则实
3、数k的取值范围为 ()(A)k3(B)k-3(C)k3(D)k-3分析:设,则原式对任意实数x恒成立的充要条件是,于是题转化为求的最小值。解:、的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离-的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差,如图可得其最小值为-3,故选(B)。四、典型题型1、解关于的不等式解:原不等式等价于,即 原不等式的解集为2、解关于的不等式 解:原不等式等价于3、解关于的不等式4、解关于的不等式 解: 当时,即,因,故原不等式的解集是空集。 当时,即,原不等式等价于解得:综上,当时,原不等式解集为空集;当时,不等式解集为 5、解关于的不等式6、解关于的不等式 (答案:)五、巩固练
4、习1、设函数 ;若,则的取值范围是 .2、已知,若关于的方程有实根,则的取值范围是 3、不等式的实数解为 4、解下列不等式; ; ; ; ; ()5、若不等式的解集为,则实数等于 ( ) 6、若,则的解集是( ) 且 且7、对任意实数,恒成立,则的取值范围是 ;对任意实数,恒成立,则的取值范围是 ;若关于的不等式的解集不是空集,则的取值范围是 ;8、不等式的解集为( ) 9、解不等式:10、方程的解集为 ,不等式的解集是 ; 11、不等式的解集是 12、 已知不等式的解集为,求的值 13、解关于的不等式:解关于的不等式;14、不等式的解集为( ). 15、 设集合,则等于 ( ) 16、不等式的解集是 17、设全集,解关于的不等式: (参考答案)1、 6 ; ; 2、 3、 4、 当时,;当时,不等式的解集为5、C 6、D 7、 ; ; ;8、C 9、 10、;11、D 12、 15 14、D 15、B 16、,17、当,即时,不等式的解集为;当,即时,不等式的解集为;当,即时,不等式的解集为;