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1、聊城大学本科毕业论文 聊城大学 毕业论文题 目: 浅谈对称性在数学中的应用 专业代码: 070101 作者姓名: 李艳杰 2010 年 5 月 20 日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指 导 教 师 签 名: 日期 目 录第一章 引言1第二章研究对称性的意义1第三章对称性在初等数
2、学中的应用23.1 对称性在几何中的应用23.2 对称性在方程中的应用33.3 对称性在三角中的应用4第四章对称性在高等数学中的应用64.1 对称性在求导中的应用64.2 对称性在积分中的应用7第五章结束语16参考文献 17致 谢 18摘 要对称性在数学解题中有广泛应用, 在解题过程中, 充分考虑到对称性的因素可以起到事半功倍的效果. 在几何、方程、微分、积分中, 许多问题的求解都采用了对称性原理, 对于一元函数而言对称通常表现为奇、偶函数, 其图象关于原点、x、y 轴对称等. 在求解高等数学的某些问题时, 利用对称性往往能简化解题过程. 通过对初、高等数学的研究, 给出了利用对称性求解初等数
3、学中的几何、方程等问题以及高等数学中的微分、积分问题的基本思路与方法. 关键词 对称性； 函数； 积分； 应用AbstractSymmetry in solving mathematical problems are widely used in problem-solving process, fully taking into account the factors the symmetry of the multiplier effect. In geometry, differential and integral equations, in the solution of the p
4、roblem, many are symmetry principle, for a unary function, symmetric are usually in the form of a strange, even function, its image on the origin, x, y axis symmetry, etc. In solving some of the problems of higher mathematics, using symmetry tend to simplify the process of solving problems through t
5、he initial research, advanced mathematics, gives a solution in elementary mathematics using symmetry of geometry, equations, and the differential in higher mathematics, integral problem of method. Key words Symmetry; function; application; integration浅谈对称性在数学中的应用第一章 引 言作为人类认知世界的结晶, 对称性与人类的文明历史一样久远,
6、它普适于人类生活的各个方面. 我们的先人首先从认识自然界的形象对称开始, 如树叶的左右对称、月圆时的中轴对称等, 并把这种对称外化为人工自然当中. 如此, 对称性的触角自古代开始就向自然科学中延伸. 著名的古希腊数学家欧几里德在其几何原本中就研究几何图形的对称性. 近代的数学还进一步创立了关于对称性的数学理论群论. 对称是数学美的一种重要表现形式, 它不仅给我们以美感, 更重要的它是一种思想方法, 它既是思考问题的出发点, 又是探索解题思路的精良武器, 在简化解题过程、进行数学命题推广等方面也具有独特的作用, 用对称性学习有关数学知识, 可起到事半功倍的效果. 本文主要介绍了利用对称性求解初等
7、数学中的几何、方程等问题以及利用对称性求解高等数学中的各种积分问题的基本解题思路与方法, 重点研究了对称性在重积分中的应用. 第二章 研究对称性的意义对称, 在现代汉语词典中解释为图形或物体对某个点、直线或平面而言, 在大小、形状和排列上具有一一对应关系.数学中的对称主要有几何对称和代数对称.几何对称是一种位置对称, 从变换的角度而言, 平面图形有轴对称、中心对称和平移对称三种对称形式, 代数对称通常有二元对称和多元轮换对称共扼、对偶、配对也可看作是一种广义的对称对偶是一种深层次的对称, 其对称性不表现在形状上, 而表现在某种关系上. 对称的概念在数学中有广泛而重要的应用. 对于一元函数而言对
8、称通常表现为奇、偶函数, 其图象关于原点、轴对称等. 几何中的对称主要是轴对称和中心对称. 轴对称: 任一对对应点的连线段被对称轴垂直平分； 中心对称: 任一对对应点的连线段过对称中心, 且被中心平分, 几何中的对称性是极为普遍的, 并有相对的固定规律. 在求解高等数学的某些问题时, 利用对称性往往能简化解题过程. 如果能在分析问题、处理问题时有意识地利用事物的对称性, 并使人们的思维过程与之相适应, 不但可以更好的把握事物的本质, 还可以使思维和推理过程更简洁, 更快地打开思路, 并能快捷地解决问题. 第三章 对称性在初等数学中的应用对称性在初等数学中有着广泛的应用, 在中学数学中常有对称现
9、象, 既有几何中的轴对称、中心对称等空间对称, 又有代数中的周期节奏和旋律的时间对称. 在学习过程中, 挖掘出数学问题中的关系结构的和谐性与对称性, 能简化运算, 优化思路. 下面谈谈对称在中学数学中的具体运用. 3.1 对称性在几何中的应用在几何方面, 对称性较为直观, 通过画出几何图形就能容易地发现具有对称性的对象. 球、圆、双曲线、抛物线等的对称性是很直观的, 利用它们的对称性可以解决许多几何问题. 例1 如图, 一个圆柱被一个平面所截, 截面椭圆的长轴长为5, 短轴长为4, 被截后的几何体最短母线长为2, 求这个几何体的体积. 分析 该几何体既不是圆柱，也不是圆台, 更不是圆锥, 我们
10、直接计算其体积是不行的. 利用对称原理, 在其上面补一个完全相同的几何体, 成为一个完整的圆柱. 解 由条件, 圆柱的底面直径为截面椭圆的短轴长4, 又长轴长为5, . 所以. 补成圆柱的母线长为7. 所求几何体的体积为. 在几何方面对称性较为直观, 因此就更能理解与留意, 而在代数方面就不那么直观, 而是较为抽象, 相对也就更不关心代数式的对称性, 其实对称性在代数上的应用也非常广泛, 往往能够化繁为简, 化难为易. 3.2 对称性在方程中的应用在解方程时, 有时若按常规方法去解, 则显得较为复杂, 这时可考虑添加因式, 用对称思想去求解. 例2 已知是方程的两根, 求的值. 分析 因为不是
11、关于的对称式, 无法直接使用韦达定理, 但我们只需添加因式, 则； . 两式都是关于的对称式, 由此可得. 3.3 对称性在三角中的应用例3 已知, 求证. 分析 观察题目的条件和结论, 可以看出他们之间结构上的对称性： 与对称, 与对称, 有这种对称性的启发, 我们猜想, . 为此, 我们设, 原式变为： . （1）有：化简得： . 把（1）式中的与互换得： , 即.例4 在锐角ABC中, 求证： .分析 左、右两边均是关于的完全对称式, 只需比较和. 证 因为, ,.且根据条件有. 若, 则. 那么矛盾. 所以. 从而, . 又因为, 所以. 从而, . 同理, .三式分别相加并除2, 即
12、可得到要证的不等式. 以上介绍了对称性在求解几何、方程、三角中的应用. 对称是初等数学中的常见现象, 学习过程中, 抓住对称关系可优化问题结构, 通过自己的不断摸索与实践, 逐步掌握对称的方法, 以便熟练运用对称去解决各类问题. 第四章 对称性在高等数学中的应用对称性在高等数学领域有相当重要的作用, 我们可以根据所研究的数学对象本身的对称性解决问题, 就微积分部分, 许多问题用“正规”的方法解决十分麻烦, 但根据函数奇偶性、积分区域、函数图象的对称性便可以简化运算. 4.1 对称性在求导中的应用定义1 若中任意两个变元对换而函数不变, 则称是对称函数. 定理1 若是偏导数存在的对称函数, 则.
13、 定理1可以推广到高阶偏导数的情况.定理2 若函数的偏导数存在, 且, 则. 定义2 如果函数在轮换：换, 换, 换下不变, 则称为三元轮换对称函数. 定理3 若是一个三元轮换对称函数, 则它对任意变元所得的阶偏导数的结果都可以经轮换直接转换为其他变元的n阶偏导数. 例5 设, 求. 解 由于函数对于具有对称性, 且故. 有些函数在对换变量后与原来函数差别很小（如仅差一个负号）, 我们称之为“潜在对称”性函数. “潜在对称”性函数的求导, 对具备“潜在对称”性的函数, 视具体情况简化求导. 例6 设, 求. 分析 因为, 所以不具有对称性. 但考虑到仅差一个负号, 于是当存在时, . 可见, 将中互换后添一负号可得到. 也可用类似方法得到二阶导数. 4.2 对称性在积分中的应用4.2.1 对称性在定积分中的应用定理4 设函数在上连续, 则如果我们放宽条件, 只要求积分区间对称, 则可将定理4推广到： 定理5 设在上连续， 则定理6 若存在, 则定理7 设, 则例7 求积分. 解 . 因为. 从而, . 令, 则. 例8 计算. 解 . 例9 求. 解 令, 则 原式 . 例10 计算. 解 因积分区间关于原点对称, 可用公式, 于是, 原式 . 4.2.2 对称性在重积分中
