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1、习题二解答1.两个零和对策问题.两个儿童玩石头-剪刀-布的游戏，每人白出法只能在 石头-剪刀-布选择一 种，当他们各选定一个出法（亦称策略）时，就确定了一个“局势”，也就得出了各自的输赢.若规定胜者得1分，负者得-1分，平手各得零分，则对于各种可能的局势（每一局势得分之和为零即零和），试用赢得矩阵来表示的 A得分.B策略解石头剪刀布A苗石头 011策一F讪男刀 101略+布 110删了 2.有6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手 1胜选手2, 4, 5, 6负于3;选手2胜选手4, 5, 6负于1, 3;选手3胜选手1, 2, 4负于5, 6;选手4胜选手5, 6负于1, 2, 3;选手5胜
2、选手3, 6 负于1, 2, 4;若胜一场得1分，负一场得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序 110 11131 11 0 0，选手按胜多负少排序为1 2 3 4 5 6.4000115001016001002.某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B.且35 72A20 43, B012313 2 02 15 70 6 4 8试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量357解 A B 2 0 4012213 2032 15730 6 484 8 9 24 1 9 100 7 6 11113.设 A 1112312 4 ,求 3AB 2A 与 AT B.T0 581At
3、B05 6123242 900514.某厂研究三种生产方法,生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量用如下矩阵表示:甲乙丙234方法一A123方法二241方法三若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为 最多.10元，8元，7元，试用矩阵的乘法求出以何种方法获利,方法一获利最多1 0 n,向1222AB B 吗？a2 b2 吗？因为1072解 A 844759125.设 A, B13(1) ab ba 吗？(2) a b 2 a2(3) A B A B解(1) ab ba,3412因为ab, ba,所以ab ba .4 63 8222(2) A BA2 2AB B2222 58 1414
4、 29A2 2AB B2384 11(3 )ABA2B2因为A2B2ABA11A2B26.举反例说明下列命题是错误的:若A2(3)若A2A,则AE;若AXA2(1)取(3)7.设AO, A1000求A；Ak .A2A,AY .解A2AAA3A2A由此推出Ak2,3 ,L下面利用数学归纳法证明这个结论.当k 1, k 2时，结论显然成立.假设k 1时结论成立，即有Ak则对于k时，有Ak Ak1A,故结论成立.8.增加设A，求 Ak.解 首先观察A20a3/ 2 AAAAk(k1)由此推测Ak(k2)用数学归纳法证明：当k 2时，显然成立.假设k时成立，则k 1时,k(k 1) kAk 1 Ak
5、A(k1)(k2 (k1)k1)k 1k(k1)由数学归纳法原理知：Ak8.设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB BA.证明 由已知：AT abt充分性：由AB BA,得AB BTAT ,所以AB ABAB是对称矩阵必要性：由 AB T AB得,BtAt AB所以 BA AB.删了9.设 A、B为n矩阵,A为对称矩阵，证明 BTAB也是对称矩阵.从而AI1证明已知:atA11.btab Tbt btaabtatb btabBT AB也是对称矩阵.求下列矩阵的逆阵(1)、(3)用公式法和初等行变换法求解)cossin5, A21公式法:sincosDAa?an1),
6、A，aL anA21A22初等行变换法:所以A1AEr11aA(2)故A 1存在A11cosA21sinA2 sinA22cos从而A1cossin公式法；AA11A12A13A1初等行变换法:AEr33r15r1sin2,1332Aacos故A 1存在A22A23141413216A310A32A33162r113r31515r21316131613216所以216a1(4)由对角矩阵的性质知a2anr1r23 r32r3r12 r4r2 5r4r3 2 r410.解下列矩阵方程:(1)(2)(3)1 0132 3223 301243110日110112 16 6 1012 3 0 1 2删
7、了 13.利用逆阵解下列线性方程组:x1 2x2 3x3 1,为 x2x32,(1) 2x1 2x2 5x3 2, 2x1 x2 3x3 1,3x15x2x33；3x1 2x2 5x30.12 3x11解 (1)方程组可表示为2 2 5x22351必31x112311故x22 2 520x33 5130x11从而有x20x301 11x12(2)方程组可表示为 213 x213 25 x301x111125故X221310x332503故有删了14.把矩阵1r33 315.XiX2X3化为行最简形矩阵213。31r12 r2 r3设方阵A满足A2A 2E证明2E均可逆，并求其逆矩阵证明 由A2
8、 A 2E O得A2 A 2E两端同时取行列式：A2 A 2即 |A|A E 2,故 |A 0所以A可逆，而A 2E A2A 2E| |A2| |A2 0 故 A 2E也可逆.由A2 A 2E O得A(A E) 2E一,1111_所以A 1A(AE) 2A 1E ,则 A12(aE)又由 a2 A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E(A 2E)( A 3E) 4E1所以 (A 2E) (A 2E)(A 3E)4(A 2E)_ 11_则 (A 2E) 1 (3E A)42.改11.设方阵A满足A 2A 5E O,证明A 3E可逆，并求其逆矩阵1 - 由 A2 2A 5E O 得 A
9、3E A E 2E ,即 A 3E A E E,211所以，A 3E - A E . 2 k12 .已知对给定方阵 A,存在正整数k,成立A O ,试证E A可逆，并指出 E A 的表达式.证明 E AkE A E A L Ak 1 ,而 Ak O ,所以 EAEAL Ak1 E,则 EA1 = EAL Ak14 n 1,113 .设A为3阶方阵，A ,求2A 5A .21 11解因为A A，所以A A A ,代入，得A2A 1 5A 1A 1 5 A A 1-A 1 5 1 A 1 2A 1 ,2 22又 AA 1 |E 1, A / 故 A 12.13112A 5A 2 A 18 A18
10、2161 . 114.设方阵A可逆，证明其伴随矩阵 A也可逆，且 A A .,11证明由A 1A所以 当A可逆时，有A | |An A 1|An 10,从而A也可逆.1111 dd因为A AA1,所以 A |A A,又A p1| A 1 A A1 ，所以A 1 |A 1 A |A 1 A A 1 A 1另外：1辅导书中n阶矩阵A的伴随矩阵为 A的性质证明 AA A A AEP41.定理，(2)当A可逆时，A A A 1(证：由AAE左乘A逆得出);1当A可逆时，A A(证：由A A A 1左乘A得AA一一，八 “ ，L.11.A E,由定理推论，得 A A, |A|1lAA);一 1111.又A A AE A E左乘A,得ATt(4) A AT(证：由AA AE,得AATT TA E ,即 A A A E ,同样 at atat e a e ,所以 a tat )n 1 A = 1 A1n1 AE.(证：A A = A A = A E 1 n A E,A A又 AA AE,故 A An 11 AA,当A可逆时，AA ).(6) AB =B AA BB A A B EA B AA BAE
