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1、第55讲 直线与圆锥曲线的位置关系一、 课程标准1. 会判断直线与圆锥曲线的位置关系2. 会求直线与圆锥曲线相交时的弦长3. 求圆锥曲线的中点弦二、 基础知识回顾1、直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程例：由，消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则：0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0，即k时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重
2、合的公共点(2) 当0，即k时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3) 当0，即k0，解得m0，解得t，所以y1y22，y1y13t.因为3，所以y13y2，所以y21，y13，所以y1y23，则AB.方法总结;(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解考点三 求圆锥曲线的中点弦例3、已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点
3、，点C在E上，且ABC面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点证明：直线OD平分线段MN.【解析】(1)由题意得解得故椭圆E的方程为1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(4，n)，线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0x1x2,2y0y1y2，由(1)可得F(1,0)，则直线DF的斜率为kDF，当n0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN；当n0时，直线MN的斜率kMN.因为点M，N在椭圆E上，所以整理得0，又2x0x1x2,2y0y1y2，所以，即直线OP的斜率为kO
4、P，因为直线OD的斜率为kOD，所以直线OD平分线段MN.变式1、 已知P(1，1)为椭圆1内的一点，经过点P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被点P平分，则此弦所在直线的方程为 【答案】 x2y30【解析】 方法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去y并整理，得(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，所以x1x2.又因为x1x22，所以2，解得k，故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.方法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，由，得0，因为x1x22，y1y22，所以y
