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1、Green第一第二第三公式的证明1.1 Green第一公式证明Green 第一公式:?u 2 ?u 2? ( ?X)+ (?y) dxdy = - ? u?udxdy ?证明：不妨设 n = (cos 0 sin0)；由方向导数的定义有:?u ?u= cos ? ?x?u0+ sin 0 ?ydy可知有cos 0 =“？?+ (?sin 0=v(?+(?-dx? “(？?+(?故有=步 u(?Ucf ?uydsc?udy+ )(?+ (?x ?+(? ?y vt?/+(?u?u=u ?x dy - u?y dxdydy由Green公式?Q ?( (?xD?P-?y) dxdy=/ Pdx +
2、Qdy ;?D/ ?u?u少u亍dy - ?xc-u dx ?y? ?u?u=? ?x(u ?x)- ?y(-u ?y) dxdyS? ?u?y(u ?y) dxdy? ?u ?u 2 ?y(勾)u+(?y)dxdy? ?u =? (u ) +-?x(U?x)S? ?u ?u =?衣应u+(pS?u 2 ?u 2(如)+ (?y) dxdy+ ?S?u 2 ?u 2 (应 + (?y) dxdy + ?S ?u 2 ?u 2? ?u ? ?u?x(?x)u + ?y(?y) u dxdy? ?u ? ?u u?x(?x)+ ?y(刃dxdy=?(灵)+ (?y) dxdy + ? u ?udx
3、dyS即有?u u ds =?c移项可得原式，得证。?u 2 ?u 2? (?x)+(?y)dxdy+? u ?udxdyS1.2 Green第二公式证明Green第二公式:|?uu| dx dy = v?uu?v7?1 dsv证明:等式左边展开:? |?uS?|dxdy 二? v?u -u?vdx dy =? v?u - u?vdx dyS右边?u e i?n c u ?u F-?v 两dsv?vu) ds? 7?u?uCdy?x v(?+ (?dxv?y “？?+(?有Green公式有P=(uQ=(vdy?v u?x “？?+ (?vdx+ u(?+ (?y “？?+(?u=/ v dy
4、-?uv dx -?y?vf ?v ?u=风F v刃dx +?u?u-v )?y ?y7?u ?v?x- u?x)?Q ?P(莎-?y) dxdy =?v临dy+u?y dx?u ?v(v?x-临)dy/ Pdx + Qdy ;?D?u?Q_ ?(W u?x?x?v?u = +?x ?x?2uv?x2 -?v ?u?2v?x ?x- u?x2?2u?2vv?x2 -u 2?x2同理?P?2v?2u=u o-v?x?y2?y2故有v?u - u?v dxdy =?vv| dx dy?Q?P?(条-?y) dxdyD?2u?2v?2v?2u? (v- (v ?x2u?x2-u 2 + v ?y2?
5、y2) dxdyD1.3 Green第三公式证明Green第三公式：若u为有界闭区域S中的调和函数，则有：u(x,y)=三卷(u ?丁 - I nr?) ds 其中C为S边界，寻为u沿着C的外法线方向的方向导数；r = v( - x)2 + ( n- y)2;为(x, y)到边界C上动点(E, n)的距离；证明: 由Green第二公式得到? l nr?u/ (u - In r ) ds 二？ v?u - u?v dxdy ?7、CD由于u为有界闭区域S中的调和函数，？u = 0?v = ? In r = ?ln - x)2 + ( n- y)2 = 0可知In r也是调和函数;故有在没有奇点的
6、情况下,S内的任何区域? In rC故有设以(x , y)为中心,?uIn r ) ds = ?7Dt为半径的一个领域u?v - v?u dxdy = 0D,/ (uC有在？D上，? In r?(r?uIn r?) ds =(u?D? I nr?u亍叫)dS/ In?u r ds 一?In t,?u 少ds?一 In t ? ?uds 一 0?D?DD? In r11ds 一/ uds一岁u-ds = 少 uds 一 2 n?rtt?D?D?Du? In r岁u?D，n)故由u在S上的连续性得到In r ?uIim / (ut f ?C-In r ?) ds = tim0 2 n u , nj
7、 = 2n u.故得证1? I nr?u皿沪厂心百-x亦)dsC种积分F面的图表给岀了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另例1 设L为平面上封闭曲线，I为平面上任意方向，n是L的外法线方向。证明:Lcos(n,l )ds 0证明 ncos(n, x), cos(n, y)，因为(n,x)(,y)，(n, y) ( , x)(,x)则cos( n,x)cos( ,y)，cos(n, y)cos( ,x)cos(n,l)n l cos(n, x),cos(n, y)cos( l ,x),cos(l , y)cos( ,x),cos( ,y)cos( ,y), cos( ,
8、x) cos( I , x),cos(l, y) cos(l,y)cos( , x) cos(l ,x)cos( , y)cos(n,l )ds I cos(l , y)dx cos(l ,x)dyOdxdy 0D注1到）此例给岀了平面上闭曲线切线正向和外法线矢量的关系:（这个结果在 7、8、12题都要用cos(n, x) cos( , y)， cos(n, y)cos( , x)利用这个关系，可得格林公式的另一种形式:LPcos(n,x)Qcos(n, y)ds D一 D x dxdy y或（用外法向矢量）lP,Q ndsP Q dU 7dxdy0 L Qdx PdyDxdxdy试比较(用正
9、向的切线矢量)l Pdx Qdy : JP, Q.r QdsJD xP dxdy y事实上Pcos(n,x) Qcos(n, y)ds LP cos( , y)Qcos( , x)ds注3 我们已经知道，格林公式是斯托克司公式当L是平行于Oxy坐标面的平面曲线时的特殊情形。而从格林公式的上述形式可以看岀，格林公式也可作为高斯公式的特殊情形。在高斯公式中，设 P(x, y), Q(x, y), R(x, y)不依赖于z。考虑平行于z轴的单位高柱体的边界曲面S的外侧，它在 Oxy面的投影为曲线 L。记柱面的上底面为 S1，下底面为 S2，侧面为S3，则- S Pdydz Qdzdx Rdxdy(s
10、s2sJPdydz Qdzdx RdxdyS R(x, y)dxdy S R(x, y)dxdy S Pdydz QdzdxS3 P(x,y)dydz Q(x, y)dzdx0dz C P(x“(y),y)dy 0dz : P(x“(y), y)dy1 b1 bodz aQ(x,y(x)dx dz aQ(x, y2(x)dxddbbc P(xi(y),y)dy cP(xi(y),y)dy aQ(x, yi(x)dxaQ(x,y2(x)dxL P(x, y)dy Q(x, y)dx LPcos(n, x) Qcos(n,y)dsV上xQ dxdydz y z0dzD 空Qdxdy yd- dxd
11、yx y即 LPcos(n,x) Qcos(n, y)dsD xdxdy例2设u(x, y),v(x, y)具有二阶连续偏导数，证明(1)u2x(2)udxdyx x-V dxdy : v 上 ds y y L n其中2u2y为闭曲线L所围的平面区域,u为u（x, y）沿L外法线方向n的导 n(1)在格林公式的等价形式中令P ,Q:-cos(n,x) cos(n, y)dsL xy2-udxdy y dsL n2-udxdy y(2)一 v-dsL n-v-cos(n,x)L xcos (n, y)ds y*)(v-ldxdy y yv udxdy上上x xVdxdy y在式中令V 1，则（2
12、）即化为（1）。2u设 urx2弓，S为空间立体V的边界,zu为u（x,y）沿S外法线方向n n2口 dxdy y的导数，则有格林第一公式:v v udxdydzv gradu gradvdxdydz ： fudSn格林第二公式:V dxdydzdS12/394题的（2）（ 3）分别是格林第一和第二公式的低维情形，在格林第一公式中令 得13（ 2） /394。例3用斯托克司公式计算下列积分L(y2 z2)dx (x2 z2)dy (x2y2)dz(b)2 2L是曲线x y2Rx，x2y22rx（0 r R,z 0），它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则2 2S是曲面x yz22Rx(z0）上L所围部分的上侧。 它关于zx平面对称，在xy平2
