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1、第一章：有理数一、有理数的基础知识1、三个重要的定义（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。概念剖析：判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“”去判断，要严格按照“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别。正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合；常常有温差、时差、高度差(海
2、拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等；例1 下列说法正确的是( ) A、一个数前面有“”号，这个数就是负数； B、非负数就是正数； C、一个数前面没有“”号，这个数就是正数； D、0既不是正数也不是负数；例2 把下列各数填在相应的大括号中 8，0.125，0， 正整数集合 整数集合 负整数集合 正分数集合 例3 如果向南走米记为是米，那么向北走米记为是 _, 0米的意义是_。例4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么克表示_知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个记为正数，另一个就记为负数，我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、
3、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。例5 若 ，则是 ；若，则是 ；若，则是 ；若，则是 ；（填正数、负数或0）2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数。有理数的分类如下：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类： 概念剖析：整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化成整数或分数； 正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数；整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；例6 若为无限不循环小数且，是的小数部分，则是（ ）A、无理数 B、整数 C、有理数 D、不能
4、确定例7 若为有理数，则不可能是（ ） A、整数 B、整数和分数 C、 D、3、数轴标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。概念剖析：画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向；数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等；有
5、理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设是一个正数，则数轴上表示数的点在原点的右边，与原点的距离是个单位长度；表示数的点在原点的左边，与原点的距离是个单位长度。在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式，这两个公式选择那个都一样。例8 在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是10，则数 ；若在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是，则数 。例9 a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）0 A、 a+b0 B、 ab0 C、0 D、例10 下列数轴画正确的是（ ）0A01B0122D2012C4、相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0的相反数是
6、0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。概念剖析：“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。 很显然，数的相反数是，即与互为相反数。要把它与倒数区分开。 互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。在数轴上离某点的距离等于的点有两个。如果数和数互为相反数，则+=0；或；求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“”即可；例如的相反数是；例11 下列说法正确的是（ ）A、若两个数互为相反数，则这两个数一定
7、是一个正数，一个负数；B、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1；C、如果+=0，则数和数互为相反数；D、互为相反数的两个数一定不相等；例12 求出下列各数的相反数 例13 化简下列各数的符号 知识窗口：一个数前面加上“”号，该数就成了它的相反数； 一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负号，偶数个负号相当于一个正号，而与正号的个数无关。5、绝对值 数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：（3）
8、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。概念剖析：“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”，而距离是非负，也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即。 互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。 例14 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是( ) A、互为相反数 B、相等 C、积为0 D、互为相反数或相等例15 已知ab0,试求的值。例16 若|x|=-x，则x是_数；例17 若x+3+y2=0，则 = ；例18 将下列各数从大到小排列起来0、 、 、例19 如果两个数和的绝对值相等，则下列说法正确的是（ ） A、 B、 C、 D、不能确定二、有理数的运
9、算1、有理数的加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。例20 计算下列各式 （ 3）（ 4）+7 +（2）有理数加法的运算律：加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。例21 计算下列各式 2、有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数等
10、于加上这个数的相反数。（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。 转化后它满足加法法则和运算律。例22 计算：例23 月球表面的温度中午是，半夜是，中午比半夜高多少度？例24 已知是6的相反数，比的相反数小5，求比大多少？3、有理数的乘法（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0
11、。（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac。（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。概念剖析：“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得负” 多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0；几个都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。 有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。例25 计算下列各式
12、： 4、有理数的除法有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。概念剖析：除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”即可转化，转化后它满足乘法法则和运算律。 倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即的倒数为；求一个真分数和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即的倒数为；求一个带分数的倒数，应先将带分数化为假分数，再求其倒数；求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0没有倒数。例25 倒数是其本身的数有_；例26 计算下列各式： 5、有理数的乘方（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂。（2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何非0次幂都是0，1的任何非0次幂都是1，偶数次幂是1、奇数次幂是；概念剖析：“” 所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a；。因为表示个相乘，而表示个的相反数；任何数的偶次幂都得非负数，即。例27 的意义是_
