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1、余角、补角、对顶角【本讲教育信息】一. 教学内容：余角、补角、对顶角本周主要内容是学习互为余角和互为补角的概念及其性质，对顶角的概念及其特征。并要求在经历观察、操作、推理、交流等过程中，进一步发展空间概念，培养推理能力、有条理的表达能力，并要求能解决一些实际问题。目标1. 在现实背景下了解余角、补角、对顶角的概念。2. 知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相等；能利用对顶角相等的性质进行计算。二. 重、难点：本周的重点是互为余角和互为补角的概念及其性质，以及利用学习过的知识解决一些实际问题。三. 知识要点1. 余角、补角。（1）如果两个角的和等于90，那么称这两个角互为余角。（2）如
2、果两个角的和等于180，那么称这两个角互为补角。（3）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。说明：互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置改变。“互为余角”和“互为补角”是指具有特殊关系的两个角. 如同代数中的“互为倒数”和“互为相反数”一样，是指具有特殊关系的两个数，而且只能是两个角之间的特殊关系。如果三个角的和是180，我们不能说这三个角互为补角2. 对顶角（1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。如：两条直线相交形成1，2，3，4四个角，如图： 1和3叫做对顶角，2和4也是对顶角。（
3、2）定理：对顶角相等。【典型例题】例1. 如图，直线m和l交于O点，已知1的余角与它的补角的比为1：3，求2的度数。分析：本题可以利用题目中所给的条件列方程（设1为x），求出1的度数，而1和2是对顶角，利用对顶角的性质可以求出2的度数。 解：设1的度数为x，则它的余角为(90x) ，它的补角为(180x) ，根据题意：（90x）：（180x）1：3解之得x45又因为1和2是对顶角， 所以12（对顶角相等） 答：这个角的度数为45 。例2. 若一个角为353535，写出它的余角和补角分析：在计算过程中，将90写为895960，再与353535相减较为方便。而将180写为1795960，再与353
4、535相减较为方便，也可以将353535的余角再加上90就是353535的补角。解：353535的余角为90353535542425353535的补角为1803535351442425例3. 有两个角，若第一个角割去它的后，与第二个角互余；若第一个角补上它的后，与第二个角互补，求这两个角的度数。分析：我们可以设第一个角为，第二个角为，依照题意列出方程组求解。解：设第一个角为，第二个角为，据题意，得解之，得所以这两个角分别是90和30说明：根据题中条件，设出未知数、列出方程或方程组求解是常用方法。例4. 一个角的余角比这个角的补角的还大26，求这个角的余角及这个角的补角。分析1：可直接设未知数，
5、用一元一次方程求解。解法1：设这个角的余角为，则这个角的补角为，由题意，得：答：这个角的余角为55，补角为145。分析2：可间接设未知数，列一元一次方程求解。解法2：设这个角为，其余角为，其补角为由题意得： 答：这个角的余角为55，补角为145。例5. 如图所示，AB、CD相交于点O，试比较的大小。分析：相等，我们只需借助于对顶角和这个桥梁，就很容易比较出是相等的。解： 例6. 已知：如图所示，直线AB、CD相交于O，已知，OE把分为两部分，且，求。分析：可设为，为，则，即而为对顶角相等，所以，而所以解：设例7. 已知，直线 上有一点O，过O点作两条射线 ，使 分别在 的两侧， 。试说明 与
6、是对顶角。解：如图：点O在直线AB上，。又， ， 三点在一条直线上。 与 是对顶角。分析：本题考查对顶角的定义及性质，说明两个角是对顶角应抓住三点：（1）有公共顶点；（2）两角相等；（3）以两条直线相交为前提。例8. 判断下列说法是否正确，并说明理由：（l）有公共顶点的两个角是对顶角；（2）相等的两个角是对顶角；（3）互为对顶角的两个角的余角相等。解：（1）不正确，对顶角的定义是“如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角（对顶角的另一定义）”。有公共顶点的两个角，其中一个角的两边不一定是另一个角的两边的反向延长线（如图）（2）不正确，对顶角是两个角处于一种特殊的
7、位置关系，相等的角是两个角的大小比较，是两个角的度量关系，这两个是不同范畴的概念，对顶角的大小相等，但相等的角不一定是对顶角（3）不正确，对顶角必相等，但并没有说对顶角一定是锐角，它们也可能是钝角，所以不一定有余角。例9. 已知如图，直线AB、CD相交于O，且 的度数是的2倍求：（1） 、 的度数；（2） 、 的度数。分析：看图可知 与 互为补角，从而有 ，而又知 ，于是可求出 与 的度数； 与 是对顶角， 与 是对顶角，由“对顶角相等”便可求 与 的度数解：（1） AB是直线（已知） 与 是邻补角（邻补角定义） （补角定义）设 的度数为 ，则 的度数为 ， 即 ， （2） AB、CD相交于O
8、（已知） ， （对顶角相等） ， （已求）说明：已知两角的比值，通常设未知数，建立方程，通过解方程解决问题，是常考虑的一种思想方法例10. 如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O， ， ，求、的度数。分析：三条直线相交于一点，常常将已知角（条件）和所求角（结论）都在图中标出来，再寻找相互关系得到解题途径。此题从图中可见 是 的邻角， 是的对顶角，所以可解。解： 是直线（已知）， 与 是邻补角（邻补角的定义）， （补角的定义） （已知）， （等式性质） ， （已知）， 又 AB、CD相交于点O（已知） （对顶角相等） （等量代换）【模拟试题】测试（一）（答题时间：30分钟）1. 下列各图中，1
9、和2是对顶角的是（）（抓住对顶角的定义）2. 三条直线相交于一点，构成的对顶角有（）A. 5对 B. 6对 C. 7对 D. 8对3. 如果两个角互补，那么这两个角（）A. 均为钝角B. 均为锐角C. 一个为锐角，另一个为钝角 D. 均为直角，或一个为锐角，另一个为钝角4. 在ABC中，ABC90，BDAC，垂足是点D，则其中互为余角的角共有（）A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对5. 已知一个角的补角比这个角的余角的4倍大15，求这个角的度数。6. 如图，AB90，AC90，那么B与C是什么关系?请说明理由。由此题的结果，你可以得出什么结论?7. 如图，OB是平角AOC的平分线，D
10、OE是直角。问：（1）AOD的余角有哪几个?（2）AOE的补角有哪几个? （注意别遗漏）8. 如图，已知直线AB和CD相交于O，AOEEOC，且AOE28，求BOD、DOE的度数9. 如图，AB、CD相交于点O，且12，问：34吗?为什么?测试（二）（答题时间：40分钟）1. 一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，则这个角是（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 902. 一个锐角的补角和这个锐角的差是一个 （ ）A. 直角 B. 钝角C. 锐角 D. 或直角或锐角或钝角3. 如图，AB、CD是直线，相交于点O，OM、ON是射线，那么其中构成对顶角的是（ ）A. AOM与DON B
11、. BOM与MONC. AOD与BOC D. BOD与CON4. 平面上三条不同的直线相交，最多能构成对顶角 （ ）A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对5. 下列语句中正确的是 （ ）A. 角的边越长，这个角越大B. 互补的两个角必定一个是锐角一个是钝角C. 两个锐角不能互为补角D. 如果A20，B70，C90，那么A、B、C互为补角6. 若+90，与互为余角，则与的关系是（ ）A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 不确定 7. 如图所示ACB是直线，ABCD，ECFC，图中共有（ ）对角互余A. 2 B. 3 C. 4 D. 以上都不对8. 18 _平角，平角_直角，45_周角
12、9. 若与互补，且：4:5，那么_，_10. 1和2互余，17x5，23x+5，则x的值为_11. 1+2+3180，1+3，1+2，2+3，则在、三个角中，锐角最多会有_个12. 如图，已知AOCBOD90，BOC20，则AOD_13. 如图，直线AB、CD相交于O。已知AOC75，OE把BOD分为两部分，且BOE:EOD2:3。求AOE14. 已知和互为余角，且比小25，求的度数15. 如图所示，三条直线AB、CD、EF交于一点，若130，270，求3的度数【试题答案】测试（一）1. D； 2. B； 3. D； 4. B； 5. 65；6. B与C相等，由此可以得到一个结论：同角的余角相等；7. （1）AOD的余角有BOD，COE两个；（2）AOE的补角有BOD，COE两个8. 直线AB与CD相交于点O， AOCBOD AOEEOC， AOC2AOE又 AOE28， AOC22856， BOD56 BODAOD180， AOD180BOD18056124， DOEAODAOE12428152，（或DOE180EOC18028152）9. 解：34. 证明如下： AB、CD相交于点O， AODBOC，又 12， AOD1BOC2，即34测试（二）1. C 2. D 3. C 4. C 5. C 6. A 7. C 8. ； 9. 80；100； 10. 9； 1
