线性空间综述

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1、线性空间相关定义简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集 合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是 任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。域的概念：设F是一个非空集合，在F中定义加法和乘法两种运算，且这两种运算 对F来说是封闭的，也就是说，对F中的任意两个元素a，b，a+b和ab仍 属于F，如果加法和乘法运算满足以下运算规则，则称 F对所规定的加法和 乘法运算作成一个域：1. （加法交换律）对F中任意两个元素a，b，有a+b=b+a2. （加法结合律）对F中任意三个元素a，b， c，有（a+b）+c=a+（b+c）3. （存在0元）F

2、中存在一个元素，我们把它记作0，使得对F中的任 意元素a，有a+0=a4. （存在负元）对F中的任意元素a，在F中存在一个元素，我们把它 记作-a，有a+（-a）=05. （乘法交换律）对F中任意两个元素a，b，有ab=ba6. （乘法结合律）对F中任意三个元素a，b，c，有（ab）c=a（bc）7. （存在单位元）F中存在一个乏0的元素，我们把它记作e，使得对F 中的任意元素a，有ae=a8. （存在逆元）对F中任意乏0的元素a，在F中存在一个元素，我们 把它记作a（因为这里显示不了 a的负一次方，所以用a代替），有aa=e9. （乘法对加法的分配律）对F中任意三个元素a，b，c，有 a（b

3、+c）=ab+ac常见的域有：复数域C、实数域R、有理数域Q，但是自然数集N和整数 集Z都不是域。线性空间定义：设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代 数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于 V中任意两个元素x 和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为 z=x+y .在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法； 这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一 个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法 还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间.1. V对加法成Abel群，

4、即满足：(1) (交换律)x+y=y+x ；(2 )(结合律)(x+y ) +z=x+ ( y+z )(3 )(零元素)在V中有-兀素0, 对于V中任- 元素 x 都有 x+0= x；(4 )(负元素)对于V中每一个元素x,都有V中的元素y,使得x+y=0 ；2. 数量乘法满足：(5) 1x=x ；(6) k(lx) = (kl)x ；3. 数量乘法和加法满足：(7) (k+l) x=kx+lx ；(8 ) k (x+y) =kx+ky .其中x, y, z为V中任意元素，k, l为数域F中的任意元素，1是F的 乘法单位元。数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量(scala

5、r ) , V中元素称为向量(vector )。当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为 复线性空间。编辑本段简单性质(1) V中零元素(或称0向量)是唯一的。(2) V中任一向量x的负元素(或称负向量)是唯一的。(3) kx=0 (其中k是域F中元素，x是V中元素)当且仅当k=0或x=0。(4) (-k)x=-(kx)=k(-x)。编辑本段例子1. 域F上mXn矩阵全体，按矩阵的加法与数乘是F上线性空间。2. 复数域C是实数域R上的线性空间。3. 域F上次数小于n的多项式形式全体是F上的线性空间。4. 连续实变函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是实数域R上的线性空间。

6、首先说说空间（sp皿功 这个概念是现代数学的偷根子之一，从拓扑空间开始， 步步往上加定义.可以形成很多空间.线形空间M实还是比较初坡的.如果在里 面定义了范数，就成了赋范线性空间.吼范级性空间褊足完备性，说成了巴那赫 空间；唏范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内相空间再满足完备性就 得到希尔伯特空间.克之，空间有很多神。你耍是去看某种空何的数学定义，大致都是“存在一个集 合，在这个集介上定义某某.概念.然后满足某些性质七就可以皴称为空间，这 未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，咒 实这是很有道魁的，我们一般人最熟悉的空间，亳无疑同就是我们生活在其中的（按照

7、牛顿的始对时 生观）的三维生PL从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那 么务 先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点，仔细想想我们就 会知道，这个三维的空间m L由很多（实际上是无穷多个）位置点泪成；2.这 些点Z间存在相对的关系 3.可以在空间中定义长度、角度，4.运个空间可以 容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到为一个点的移动（变换），而不是 微积分意义上的懂埃叫生的运动，上面的这些性质中，炭最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算 是空间特有的性瓜 凡是讨论数学问题，都得有一个集侣 大务数还得在这个集 合上定义一些站构（关系），并不是说有了这些就算

8、是空间&而第3条太特殊，11： 他的空间不需要具备，更不是关键的性质.，只有第4条是空间的本质，也就是说, 容纳运动是空间的本质特征。认识到了这些，我们就可以把我们关丁三舞空间的认识扩展到JE他的空间原事实 上，不管是什么空匝 都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。 你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空拓 冲交跖 线性空间中有线性变换仿射空间中有仙射变换,M实这些变换都只 不过是对成空间中允许的运动形式而已&因此只要知道，“空间分是容纳运动的一个对彖集而变换则规定了对应空间的 运动弓Tm-Mi来看看线性空间，纹性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承

9、认线性空间是个空间,那么有两个最基本的问砸必须首先得到解决，那诫是：1. 空而是一个对泉集合，线性空间也是空间，所以也是一个对窸集合。那么线 性空间是什么样的对象的集合？或者说.线性空间中的对象有什么共同点吗？2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？我们先来回答第一个问踱，回答这个问题的时候M实是不用拐弯抹角的可以直 楸了当的给出答案，线性空间中的任何一个时象.通过选取基利坐标的办怯，都 可以表达为向M的形式湖常的向址空间我就不说了 举两个不那么平凡的例子, LL最高次项不大丁,n次的多项式的全体枸成一个线性空何，也就是说，这个线 性空间中的旬一个对象是一个多项式c如果

10、我们以x，x，为基，那么任何 一个这样的多项式都可以表达为一组ml雄向此 其中的每一个分址如其实就是 多项式中W项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那 一组基线性无关就可以这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下 而己缶L2.闭区间1句上的n阶建续可微函数的全体，鞫成一个线性空间。也就是说， 这个线性空间的每一个对象是一个连续函数访河丁M中任何一个连续函数，根据 观尔斯特拉斯定他一定可以找到最高沃项不大丁的多项式函数，使之与该连 续函数的差为0,也就是说J完全相等备这样就把间题归结为LIT.后而就不用 再至务了口所以说，向址是很厉击的，只要你找到介适的基，用向扯可以

11、表示线性空间里任 何一个对象C这里头大有文章，困为向量表面上只是一列敖，但是M实由丁它的 有序性，所以除了这些数本身携带的信息Z外，还可以在何个数的对应位置上携 带信息。为什么在程序设计中数组最简单.却又成力无窝呢？根本原因就在丁此。 这是另一个问厩了，这里就不说了。下面来回答第二个问踱J这个问厩的回答会涉及到绶性代数的一个最根本的何 鼠技性空间中的运动，被称为线性交换也就是说，你从线性空间中的一个点运动 到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，城性变换如何去 示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以川一个向械 来描述空间中的任何一个井家，而旦可以用矩阵来描述

12、该空间中的任何一个运 动（变换人而使某个对象度生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阳 乘以代表那个对每的向址3简而言Z,在统性空间中选定基之后.向M刻画对盆，矩阵到画肘敬的运动J 用矩阵与向址的乘法施加运动是的，知阵的本质是近动的描述，如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以 响亮地&诉他，矩阵的本质是运动的描述。（chensh说你呢！）可是多么有意思啊，向址本身不是也可以百成是心1知:阵吗？这实在是很奇妙, 一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示-皑说这是巧仆吗？加果 是巧介的话，那可真是幸运的巧企：可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均 与这个巧合有直接的关系凸接若理解矩阵，

13、上一篇里说,知:阵是运动的描述七到现在为止.好像大家都还没什么意见，但是 我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在教学和物理 里是跟微租分联系在一起的“我们学习微积分的时候区会有人照本宣料地古诉 你,初等数学是研究常址的数学，是研究珅态的笙学，高.等敖学是变量的数学 是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话.但是真知道这句 话说的是什么意思的人，好像也不多，简而言之，在我们人类的经您里，运动是 一个连续过程，从A点到日点，就算走得最快的光j也是需要一个时间来亟点 地经过AB之间的路札 这就带来了连续性的概家 而连续这个事情如果不定 义极限的框念，根本就鄙释不了

14、。占希腊人的敖学非常强但就是缺乏极限.观念, 所以解释不了运动，被芝诺的那些菩名忡论（飞箭不动、飞毛腹阿喀琉斯雹不过 乌伯等四个悼论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的.所以我就不多 说了，有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的g重温微积分族我就是读了这 本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道班。不过在我这个理解矩阵的文章里.噬动”的;概念不是微积分中的连续性的运 动，而是瞬间发生的变化比如这个时刻在A点，经过一个,运动七一下子就览: 堂”到了 B点，业冲不需要经过A点与B点之间的任何一个点臼这样的,运动七 或者说“跃迁七是迎反我们日常的经验的。不过了解一点扯子物迎常

15、识的人，就 会立刻指出,扯子（例如电子）在不回的能是缓孰道上跳既就是戚间发生的， 具有这样一种跃江行为所以说，白然界中并不是没有这种运动现象.只不过宏 观上我们规察不到。但是不管怎么说卜，运动这个词用在这里，还是容易产生歧 义的，说得更确切些，应该是“跃正，因此这句话可以改成工，知阵是线性空间里跃江的描述，可是这样说又大物理？也就是说太具体.而不够数学，也就是说不够抽氛。因此 我们最后魏用一个止牌的数学术语一奁换,来描述这个事情，这样一说，大家 就应该明白了，所谓变孤 H实就是空间里从一个点(元素/时象)到另一个点 (元菊对象)的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一 个点的盼

16、L再比如说，仿射交换，就是在仿射空间里从一个点到兄一个点的跃 迁。附带说一下，这个仿射空间跟向址空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都 知道，尽管描述一个三雄对象只需要三维向址卜但所有的计算机图形学变换知阵 都是4x4的，说H源凯 很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就 是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际 上是在仿射空间而不是向量空间中讪行的想想看，在向扯空间里相一个向址平 行.移动以后仍是相同的那个向仙，而现实此界等长的两个平行我段当然不能被认 为同一个东西.所以计算机图形学的生存空间卖际上是仿射空间“而仿射变换的 矩阵表示根本就是4x4的.又扯远了，有兴趣的读者可以去看计