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1、1.如图，在正方体ABCDABC D中，异面直线Ap与BC所成的角为D1dA. 30B. 45C. 60D. 90【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，连接BC,则 BC#AD,BCBC, AADXBC ,AAD 与 BC 所成的角为 90 .故选 D? 111111考点：异面直线及其所成的角 2.已知平行六面体ABCD - A B C D中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA=2,ZAAB1111 1 1= ZA1AD=120，则异面直线人与A1D所成角的余弦值（）A.D.【答案】B【解析】AB = a, AD = b, AA1 贝y AC a + b + c, AD b 一c ,1 1
2、试题分析：设向量cos -1 1IACHAD考点：空间向量的集合运算及数量积运算。3.正方体ABCD A BC D中,1111E,F,G,H 分别是 AA, ABBB1, B1C1的中点,则直线EF与GH所成的角是（）A.30B.45C.60D. 90【答案】C【解析】试题分析：由三角形中位线可知EF | A B,GH | BC ,所以异面直线所成角为ZABC ,大小为60考点：异面直线所成角 4.在正方体ABCD- ABC D中，E是BC的中点，则异面直线DC与BE所成角的1 1 1 1 1 1 1余弦值为（ ）A2/5I-B卡D-半【答案】B 解析】试题分析:取BC 中点F，连结FD巴，则
3、/Def为异面直线所成角，设边长为2,CF = .-5, DC =、&DF f 5 cos /DC F =兰ii15考点：异面直线所成角5.如图，正四棱柱ABCD-ABCD中（底面是正方形,侧棱垂直于底面），AA = 3AB,则异面直线AfB与ADf所成角的余弦值为（)1fA_B9473A、9B、匚C、D、匚105105【答案】A 解析】试题分析：连结BC，异面直线所成角为/ABC，设AB = 1，在AABC中AC=J2 AB = BC =9cos /ABC=-10考点：异面直线所成角6.点P在正方形ABCD所在平面外，PA丄平面ABCD, PA = AB，则PB与AC所 成的角是A. 60。
4、b. 90。c. 45。d. 30。【答案】 A【解析】试题分析:作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2 ，所以PB与AC所成的角就是ZFEA，由题意可知:EF = AE = AF = *2,所以ZFEA = 60 .考点：异面直线的位置关系.7.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中, M是棱CD的中点，则AlM11111与DC1所成角的余弦值为（）A迈Ao B空66【答案】A【解析】Co10Do丽TO试题分析：以D为原点，分别以DA,DC,DD为x, y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系 ，由棱长为丨，则 D （0,0,0）, A1（1，0，1）,M （0,2,0），C1
5、（丄D，所以A =（-讣-1）,西山考点：空间向量所成角的余弦值。故 cos =1 10+2“ 迈2才歹故选A。8.在正方体ABCD A B C D中，E、F分别为AB、1111BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为D.A.【答案】D【解析】 试题分析：联结AC 、BC则ABAC即为所成的角.厶BAC为等边三角形，所以iiicos ZB AC = cos60 =1 2考点：异面直线所成的角9在正方体ABCD-AiBiCiDi中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所的0 角的取值范围是（1 ） 1 111a -o c3 o & -D.Ao2 Bo2 C.【答案】D【解析】如
6、图，连结CD则异面直线CP与BA所成的角0冗等于ZD CP，由图可知，当P点与A点重合时，0二一3当P点无限接近D点时，0趋近于0。由于是异面直线，故0工0.选D考点：空间几何体，异面直线所成角10.如图，正方体ABCD ABCD，则下列四个命题：liii P在直线BC上运动时，三棱锥A DPC的体积不变；ii P在直线BC上运动时，直线AP与平面ACD所成角的大小不变；ii P在直线BC上运动时,二面角P AD C的大小不变；ii M是平面ABCD上到点D和C距离相等的点，则M点的轨迹是过D点的直线i i i iii其中真命题的个数是【答案】C【解析】试题分析： BC 平面AD ,BC 上任
7、意一点到平面ADC的距离相 111 1等，所以体积不变，正确.P在直线BC上运动时，直线AB与平面ADC所 i1成角和直线AC与平面ADC所成角不相等，所以不正确.当P在直线BC1 1 1 上运动时，AP的轨迹是平面PAD ,即二面角P- AD -C的大小不受影响， 所以正确.J M是平面ABCD上到点D和C距离相等的点，M点的 1111 1轨迹是一条与直线DC平行的直线，而DD = DC，所以正确，故答案为：C.1 1 1 1考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立 体几何综合题。11. 如图,正方体ABCDA占CR中，AB的中点为M, DD：的中点为N,则异面直
8、线B与 CN所成的角是（）A. 0。B. 45。 Co 60。 D. 90。【答案】D【解析】试题分析:解：取AA的中点E，连接EN , BE交BM于点O,则 EN / BC，且 EN = BC四边形BCNE是平行四边形 BE / CNZBOM就是异面直线BM与CN所成的角,而 RtABB M 二 RtNABEi:.ZABE = ZBBM , ZBMB = ZAEBi i:.ZBOM 二 900.故选 d.考点：异面直线所成角12. 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C的底面是边长为1的正方形,侧棱长勒仝2，则异面直线A1B1与Bq的夹角大小等于Ac【答案】60【解析】试题分析：由直四棱柱ABC
9、D-ABC D的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA 1111 1可得BD = 2,由AB|AB 知ZABD就是异面直线AB与BD的夹角，且1 1 1 1 1 1 1AB 1cosZABD =-,所以ZABD =60,即异面直线AB与BD的夹角大小等于1 BD 211 11160.考点：1正四棱柱；2异面直线所成角13. 如果直线AB与平面a相交于B,且与a内过点B的三条直线BC, BD, BE所成的角 相同，贝9直线AB与CD所成的角=.【答案】900【解析】试题分析：因为，直线AB与平面a相交于B,且与a内过点B的三条直线BC,BD,BE所成的角相同，所以，直线AB在平面a内的射影应是BC,
10、BD夹角的平分线，同时也应是BD,BE夹角及BC,BE的平分线，因此，直线AB在平面a内的射 影是点B，即AB丄a ,而CD ua，所以AB丄CD，直线AB与CD所成的角为900考点：直线与直线、直线与平面的位置关系。14. 平行六面体ABCDAqD中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2,且两两夹角为 60，则DB和CA所成角大小为。1 1 1【答案】arccos6【解析】试题分析：由于 DB 二 AB + AA AD,AC 二AB + AD而DB -CA =1 1 1AB + AA AD - (AB + AD) = AB2 + AB - AD1同 理 求1 1 1 1 * * * c+ AA
11、- AB + AA - AD AD - AB ad 2二 4，1 1DB 2 二 AB + AA AD2 二 |ab |2 + |aA+ |AD |2 + 2AB - AA2AB - AD 2 AA - AD1 1DB 二 2/2 ，同理：CA 二 2 J3，设DB和CA所成角大小为9，则1 1 1cos 9 = cos =DB - CA1|db| - |C A | 22 - 2J36=並，9= arccos 兰6考点：1。向量的加法和减法;2。向量的数量积；3。向量的模；4。异面直线所成的角;15.已知四面体ABCD中，DA = DB = DC = 3J2，且DA,DB,DC两两互相垂直,点
12、O是AABC的中心，将ADAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与直 线BC所成角的余弦值的最大值是6【答案】才。【解析】试题分析：当OA/BC时，直线DA与直线BC所成角最小，对应的余弦值最大，即cos ZOAD ；易知：AB = AC = BC = 6，OA 二 6 x 週二 , cos ZOAD 二 A 二三二迈.3DA 3J23考点：异面直线所成的角。16. 如图所示，ABCD - ABCD为正方体，给出以下五个结论：1111BD/平面CBD ；1 1 AC丄平面CBD ；1 1 1 AC1与底面ABCD所成角的正切值是空2 ; 二面角C BD C 的正切值是x/2 ；1 1
13、 1 过点A且与异面直线AD和CB均成70角的直线有2条.1 1其中，所有正确结论的序号为.【答案】【解析】试题分析：如下图，正方体ABCD - A1B1C1D中，由于BD#B1D1，由直线和平面平行的判定定理可得BD平面CB1D1，故正确. 由正方体的性质可得BD丄AC, CC丄BD,故BD丄平面ACC A ,故 BD丄AC.11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1同理可得B1C丄Aq.再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1丄平面CB1D1，故正 确11 1AC1与底面ABCD所成角的正切值为CC = -二冷2，故不正确.1AC 22取B1D1的中点M，则ZCMC1即为二面角C - B1D1 - C】的平面角，RtACMC】中，tanZCMC =1CC1CM1=J2，故正确.y 2如下图，由于异面直线AD与CB成45。的二面角，过兔作MNAD、PQCB,设MN与 PQ确定平面a,ZPAM=45,过A在面a上方作射线AH,1 1 1则满足与MN、PQ成70。的射线A”有4条:满足ZMA1H=ZPA1H=70。的有一条，满足ZPAH=ZNAH=70
