第一章 随机变量及其变量分布 §2.1 离散型随机变量 （一）随机变量 引例一：掷骰子可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}. 我们可以引入变量X,使X=1，表示点数为1；x=2表示点数为2；…，X=6，表示点数为6 引例二，掷硬币，可能结果为Ω={正，反}. 我们可以引入变量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面 引例三，在灯泡使用寿命的试验中，我们引入变量X，使a
就说公式（k=1,2,…,n,…） 或表格 是离散型随机变量x的（概率）分布律，记作 分布律有下列性质 （1）；（2） 由于事件互不相容而且是X全部可能取值 所以 反之，若一数列具有以上两条性质，则它必可以作为某随机变量的分布律 例1 设离散型随机变量X的分布律为 求常数c 【答疑编号：10020101针对该题提问】 解 由分布律的性质知 1=0.2+c+0.5, 解得c=0.3. 例2 掷一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律 【答疑编号：10020102针对该题提问】 解 X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6,且 则X的分布律为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能的取值，然后再求出每个值相应的概率 例3 袋子中有5个同样大小的球，编号为1，2.，3，4，5从中同时取出3个球，记X为取出的球的最大编号，求X的分布率 【答疑编号：10020103针对该题提问】 解 X的取值为3,4,5，由古典概型的概率计算方法，得 （三个球的编号为1,2,3） （有一球编号为4，从1，2，3中任取2个的组合与数字4搭配成3个） （有一球编号为5，另两个球的编号小于5） 则X的分布律为 例4 已知一批零件共10个，其中有3个不合格，今任取一个使用，若取到不合格零件，则丢弃掉，再重新抽取一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布率。
【答疑编号：10020104针对该题提问】 解 X的取值为0，1，2，3，设表示“第i次取出的零件是不合格的”，利用概率乘法公式可计算，得 故X的分布率为 在实际应用中，有时还要求“X满足某一条件”这样的事件的概率，比如等，求法就是把满足条件的所对应的概率相加可得，如在例2中，求掷得奇数点的概率，即为 P{X=1,或3,或5} =P{X=1}+ P{X=3}+ P{X=5}= 在例4中， P{X≤1}= P{X=0}+ P{X=1}=， P{X>1}= P{X=2}+ P{X=3}=， P{1≤X<2.5}= P{X=1}+ P{X=2}=， 例5 若X的分布律为 求（1）P(X<2), 【答疑编号：10020105针对该题提问】 （2）P(X≤2), 【答疑编号：10020106针对该题提问】 （3）P(X≥3), 【答疑编号：10020107针对该题提问】 （4）P(X>4) 【答疑编号：10020108针对该题提问】 解（1）P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+.02=0.3 (2) P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1) +P(X=2)=0.1+0.2+0.2=0.5 (3) P(X≥3)= P(X=3)+P(X=4) =0.3+0.2=0.5 (4)∵{x>4}=Φ ∴P{x>4}=0 （三）0-1分布与二项分布 下面，介绍三种重要的常用离散型随机变量，它们是0-1分布、二项分布与泊松分布。
定义4 若随机变量X只取两个可能值：0,1,且P{X=1}=p, P{X=0}=q其中0
例7 某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？ 【答疑编号：10020110针对该题提问】 解 设X为10人中被治愈的人数，则X～B(10，095)，而所求概率为 例8 设X～B（2,p），Y～B（3,p）设，试求P{Y≥1}. 【答疑编号：10020111针对该题提问】 解 ，知，即 由此得. 再由可得 例9 考卷中有10道单项选择题，每道题中有4个答案，求某人猜中6题以上的概率 【答疑编号：10020112针对该题提问】 解： 已知猜中率，用X表示猜中的题数则 在计算涉及二项分布有关事件的概率时，有时计算会很繁，例如n=1000,p=0.005时要计算就很困难，这就要求寻求近似计算的方法下面我们给出一个n很大、p很小时的近似计算公式，这就是著名的二项分布的泊松逼近有如下定理 泊松（Poisson）定理 设λ>0是常数，n是任意正整数，且，则对于任意取定的非负整数k，有 证明略 由泊松定理，当n很大，p很小时，有近似公式， 其中λ=np. 在实际计算中，当n≥20,p≤0.05时用上述近似公式效果颇佳。
例10 一个工厂中生产的产品中废品率为0.005，任取1000件，计算： （1）其中至少有两件是废品的概率； 【答疑编号：10020113针对该题提问】 （2）其中不超过5件废品的概率 【答疑编号：10020114针对该题提问】 解 设X表示任取得1000件产品中的废品中的废品数，则X～B(1000,0.005)利用近似公式近似计算，λ=1000×0.005=5. （1） （2） （四）泊松分布 定义6 设随机变量X的可能取值为0,1,…,n,…，而X的分布律为其中λ>0，则称X服从参数为λ的泊松分布，简记为X～p(λ)即若X～p(λ)，则有 例11 设X服从泊松分布，且已知P{X=1}= P{X=2}，求P{X=4}. 【答疑编号：10020115针对该题提问】 解 设X服从参数为λ的泊松分布，则 由已知，得 解得λ=2，则 §2.2 随机变量的分布函数 （一）分布函数的概念 对于离散型随机变量X，它的分布律能够完全刻画其统计特性，也可用分布律得到我们关心的事件，如等事件的概率而对于非离散型的随机变理，就无法用分布率来描述它了首先，我们不能将其可能的取值一一地列举出来，如连续型随机变量的取值可充满数轴上的一个区间(a,b)，甚至是几个区间，也可以是无穷区间。
其次，对于连续型随机变量X，取任一指定的实数值x的概率都等于0，即P{X=x}=0于是，如何刻画一般的随机变量的统计规律成了我们的首要问题 定义1 设X为随机变量，称函数F(x)=P{X≤x},x∈(-∞,+ ∞) 为X的分布函数 注意，随机变量的分布函数的定义适应于任意的随机变量，其中也包含了离散型随机变量，即离散型随机变量既有分布律也有分布函数，二者都能完全描述它的统计规律性 例1 若X的分布律为 求(1)F(1), 【答疑编号：10020201针对该题提问】 (2)F(2.1), 【答疑编号：10020202针对该题提问】 (3)F(3), 【答疑编号：10020203针对该题提问】 (4)F(3.2) 【答疑编号：10020204针对该题提问】 解 由分布函数定义知F(x)=P(X≤x) ∴(1)F(1)=P(X≤1)=P(X=0)+ P(X=1)=0.3 (2)F(2.1)= P(X≤2.1)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2)=0.6 (3)F(3) = P(X≤3)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)=0.2+0.1+0.3+0.3=0.9 (4)F(3.2)= P(X≤3.2)=1- P(X>3.2)=1- P(X=4) =1-0.1=0.9 例2 设离散型随机变量X的分布律为 求X的分布函数 【答疑编号：10020205针对该题提问】 解 当x<-1时，F(x)=P{X≤x}=P(X<-1)=0 当-1≤x<0时，F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}=0.2 当0≤x<1时，F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}+ P{X=0}=0.2+0.1=0.3 当1≤x<2时，F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}+ P{X=0}+ P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6 当x≥2时，F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}+ P{X=0}+ P{X=1}+ P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1 则X的分布函数F(x)为 F(x)的图象见图2.1。
从F(x)的图像可知，F(x)是分段函数，y=F(x)的图形阶梯曲线，在X的可能取值-1,0,1,2处为F(x)的跳跃型间断点 一般地，对于离散型随机变量X，它的分布函数F(x)在X的可能值处具有跳跃，跳跃值恰为该处的概率，F(x)的图形是阶梯形曲线，F(x)为分段函数，分段点仍是 另一方面，由例2中分布函数的求法及公式（2.2.1）可见，分布函数本质上是一种累计概率 一般地，若X的分布律是。