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1、平行四边形的性质及判定典型例题1平行四边形及其性质例1如图,0是口 ABCD对角线的交点.OBC的周长为59,BD=38, AC=24,则AD=假设 OBC与厶OAB的周长之差为15,则 AB=RABCD 的周长=.分析.根据平行四边形对角线互相平分，所以0E詁皿oc = |AC,可得BC,再由平行四边形对边相等知AD=BC，由平行四 边形的对角线互相平分，可知 OBC与厶OAB的周长之差就为BC 与AB之差，可得AB,进而可得二ABCD的周长.解Z7ABUD中OA = OC = |aC; 0E二0D二舟ED平行四边形的Lj对角线互相平分）OBC 的周长=OB+OC+EC= -BD + -AC
2、 + EC2 2=19 + 12 + BC=59BC=28匸ABCD中，BC=AD(平行四边形对边相等)AD=28OBC的周长- OAB的周长=(OB+OC+BC)-(OB+OA+AB)=BC-AB=15AB=13:.口ABCD的周长=AB+BC + CD+AD=2(AB+BC)=2(13+28)=82说明：此题条件中的“AOBC占厶OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15.例2判断题(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形.()(2) 平行四边形的两角相等.()(3) 平行四边形的两条对角线相等.()(4) 平行四边形的两条对角线互相平分.(
3、)(5) 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离.()(6) 平行四边形的邻角互补.()分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：错“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形ABCD，两条对边ADBC.显然四边形ABCD 不是平行四边形(2)错平行四边形的性定理 1，“平行四边形的对角相等”对角是指四 边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角(3)错平行四边形的性质定理 3，“平行四边形的对角线互相平分”一 般地不相等(矩形的两条对角线相等)(4)对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的(5)错 线段图形，而距离是
4、指线段的长度，是正值正确的说法是：两 条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做 这两条平行线的距离(6)对 由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可 知平行四边形的邻角互补例3 .如图1,在口ABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF.求证：EDBF.分析：欲址 DEBF,只需ZDEC=ZAFB,转证=ZABFACDF, 因口ABCD，贝U有AB生CD，从而有ZBAC=ZCDA.再由AF=CF 得AF=CE.满足了三角形全等的条件.证明：AE=CFAE+EF=CF+EFAF=CE在口ABCD中ABCD（平行四边形的对边平行）ZBAC=ZDCA（两直线平行内错角
5、相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等）ABFmCDE（SAS）ZAFB=ZDCEED BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处 理.例4如图已知在 ABC中DEBCFG,假设BD=AF、求证;DE+FG=BC.分析1要证DE+FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形 定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此,过E（或D）作EH AB（或 DMAC）,得至U DE=BH、只需证 HC=FG,因 AF=BD=EH, ZCEH= ZA.ZAGF=ZC所以 AFGZEHC.此方法称为截长法.分析2：过C点作CK AB交DE的延长线于K,只需证FG=EK,转证
6、 AFGACKE.证法1 ：过E作EHAB交于HDEBC四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义）DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又 BD=AFAF=EH BCFGZAGF=ZC（两直线平行同位角相等）同理 ZA=ZCEHAFGmEHC（AAS）FG=HC BC=BH+HC=DE=FG即 CE+FG=BDu证法2：.过C作CK AB交DE的延长线于K.DEBC四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）又 BD=AFAF=CKCKABZA=ZECK（两直线平行内错角相等） BCFGZAGF=ZAED（两直线平行同位角相等）又ZCEK=Z
7、AED（对顶角相等）ZAGF=ZCEKAFGmCKE（AAS）FG=EKDE+EK=BCDE+FG=BC例 5 如图口ABCD 中，ZABC=3ZA，点 E 在 CD 上,CE=1,EF丄CD交CB延长线于F,假设AD=1，求BF的长.分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得ZC=ZF=45 进而由勾股定理求出CF，再根据平行四边形对边相等，得BF的长.解：在口ABCD 中，ADBCZA+ZABC=180o（两直线平行同旁内角互补） ZZABC=3ZAZA=45, ZABC=135AZC=ZA=45O（平行四边形的对角相等）EF丄CDAZF=45O（直角三角形两锐角互余）EF=CE=1在R
8、t&CEF中，CF = JCE* +EF旋（勾股定理）*.* AD=BC=1.BP = CF-BC = J2 -1例6如图1, 口ABCD中,对角线AC长为10cm, ZCAB=30,AB长为6cm,求二ABCD的面积.Ic解：过点C作CH丄AB,交AB的延长线于点H.（图2）ZCAB=30.CH=1aC = - X1Q=52 2S 口 ABCD=ABCH = 6x5=30(cm2)答：口 ABCD的面积为30cm2.说明：由于口=底乂高，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于此题条件的制约，不便于求出过点D的高，故选择 过点C作高.例7如图，E、F分别在口ABCD的边CD、BC上
9、，且EFBDA.求证：SAACE=SAABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形.证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.口 ABCD DEABZDEG=ZBHF（两直线平行同位角相等）ZGDE=ZDAB（同上）ADBC.ZDAB=ZFBH （同上）.ZGDE=ZFBHDEBH, DBEH四边形BHED是平行四边形DE=BH（平行四边形对边相等）GDEAFBH（ASA）SAGDE=SAFBH（全等三角形面积相等）GE=FH（全等三角形对应边相等）SAACE=SAAFH（等底同高的三角形面积相等）SAADE = SAABF说明：平行四边形的面积等于
10、它的底和高的积.即S=aha. a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即 对应的高，为了区别，可以把高记成ha,说明它所对应的底是a.例8如图，在口ABCD中，BE平分ZB交CD于点E, DF 平分ZD交AB于点F,求证BF=DE.分析EF二DE （目标）tBEDF 为 口DF fl BEy 1=Z 3TDE II FBZ 2=Z 3TZ 1=Z 2fDE !l PE Z B=Z Dt QABCDZ1 = |ZDZ2证明：四边形ABCD是平行四边形DE FB,Z ABC=ZADC（平行四边形的对边也平行对角相Z1 = Z3（两直线平行内错角相等） 而厶二#/ADC, Z2
11、=|ZABC.Z1 = Z2.Z2=Z3DF BE（同位角相等两条直线平行）四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）BF=DE.（平行四边形的对边相等）说明：此例也可通过ADF9ACBE来证明，但不如上面的方 法简捷.例9如图，CD的RtAABC斜边AB上的高，AE平分ZBAC 交CD于E, EFAB,交BC于点F,求证CE=BF.分析作EGBC,交AB于G,易得EG=BF.再由基本图, 可得EG=EC,从而得出结论.证明：过E点作EGBC交AB于G点.ZEGA=ZBEFABEG=BFVCD为RtAABC斜边AB上的高ZBAC+ZB=90. ZBAC+ZACD = 90ZB=ZACDZAC
12、D=ZEGAVAE 平分 ZBAC.Z1 = Z2又 AE=AEAGEmACE(AAS) CE=EG CE=BF说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用(2)此题也可以设法平移AE.(连F点作FGAE，交AB于G)例10如图，已知口ABCD的周长为32cm, AB : BC=5 : 3,AE丄BC 于 E, AF丄DC 于 F,ZEAF=2ZC，求 AE 和 AF 的长.从化简条件开始由口ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长.口 ABCD 的周长=321 fAB=10AE : BC=5 : 3 p |bC=6ZEAF=2ZC告诉我们什么？AF 1AE 1C=60
13、0FClZ FAE +Z C=1SOBC/Z EAF=2 Z C这样，立即可以看出厶ADF、AAEB都是有一个锐角为30啲直角三角形.于是有DF = |aP = |bC = 3再由勾股定理求出解：匸ABCD的周长为32cm即 AB+BC+CD+DA=32AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）.AB+BC = - X32 = 16 2又 AB : BC=5 : 3BC =165+3ZEAF+ZAFC+ZC+ZCEA=360o（四边形内角和等于 360。）VAE丄BC ZAEC=90oAF丄DC ZAFC=90。.ZEAF+ZC=180oZEAF=2ZCZC=60oAB CD(平行四边形的对边平行)ZABE=ZC=60o(两直线平行同位角相等)同理 ZADF=60在RtAABE中，ZBAE = 30 BE = |AB = 5AE = VAE5 =BE2 = 53 (cm)在RtAADF中，ZDAP = 30 DF=|aD= 3.AJ = 7aP2-DF2 =33 (cm)说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就 从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题 策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2.平行四边形的判定例1填空题(1)如图1,四边形ABCD
