《高考数学大一轮复习第七章立体几何第七节立体几何中的向量方法教师用书理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习第七章立体几何第七节立体几何中的向量方法教师用书理（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节立体几何中的向量方法2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用。2016，全国卷，18,12分(面面垂直、二面角)2016，全国卷，19,12分(线面垂直，二面角)2016，全国卷，19,12分(线面平行、线面角)2016，天津卷，17,13分(线面平行，线面角、二面角)2016，山东卷，17,12分(线面平行、二面角)1.本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角；2.题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想，转化与化
2、归思想。微知识小题练自|主|排|查1两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos|cos|(其中为异面直线a，b所成的角)。2直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，向量e与n的夹角为，则有sin|cos|。3求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，。(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小n1，n2或n1，n2。微点提醒1一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立
3、空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点。2异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角。3二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补。小|题|快|练一 、走进教材(选修21P117T4改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底
4、面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_。【解析】以C为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0,2)。点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2。所以(2,0,2)，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为，则cos。又，所以。【答案】二、双基查验1已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为_。【解析】如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系。设AA12AB2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，所以(0，1,1)，(0，1,2)，所
5、以cos，。【答案】2过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，如果ABPA，那么平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小为_。【解析】建立如图所示空间直角坐标系，设ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又因为CD平面PAD，所以AECD，又PDCDD，所以AE平面CDP。所以(0,1,0)，分别是平面ABP，平面 CDP的法向量，且，45，所以平面ABP与平面CDP所成的二面角为45。【答案】45第一课时利用空间向量求空间角微考点大课堂考点一 异面直线所成的
6、角【典例1】(2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC。(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值。【解析】(1)证明：如图，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF。在菱形ABCD中，不妨设GB1。由ABC120，可得AGGC。由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC。又AEEC，所以EG，且EGAC。在RtEBG中，可得BE，故DF。在RtFDG中，可得FG。在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF。从而EG2FG2EF2，所以EGF
7、G。又ACFGG，所以EG平面AFC。因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC。(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz。由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，。故cos，。所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为。【答案】(1)见解析(2)反思归纳求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定。【变式训练】(2017保定模拟)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABB
8、CAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A45B60C90 D120【解析】以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系。设ABBCAA12，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)。(0，1,1)，(2,0,2)。2，记，所成角为。cos。EF和BC1所成角为60。【答案】B考点二 直线与平面所成的角【典例2】(2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点。(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成
9、角的正弦值。【解析】(1)证明：由已知得AMAD2。取BP的中点T，连接AT，TN。由N为PC的中点知TNBC，TNBC2。又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT。因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB。(2)取BC的中点E，连接AE。由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE。以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz。由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，。设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0,2,1)。于是|cosn，|，则直线AN与平面PMN所成角的正
10、弦值为。【答案】(1)见解析(2)反思归纳直线l与平面所成角与直线的方向向量l、平面的法向量n的夹角l，n不是一回事，满足关系sin|cosl，n|。【变式训练】(2016青岛模拟)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13。(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。【解析】(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，
11、C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)。从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)，因为ACBD，所以t2300。解得t或t(舍去)。于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300，所以，即ACB1D。(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)，设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量则即令x1，则n(1，)。设直线B1C1与平面ACD1所成的角为，则sin|cosn，|。即直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为。【答案】(1)见解析(2)考点三 二面角多维探究角度一：计算二面角的大小【典例3】(2016全国卷)如图，在以A，B，C，D，E
12、，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60。(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值。【解析】(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，因为DFEFF，所以AF平面EFDC。又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC。(2)过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF。以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz。由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0
13、，)。由已知，ABEF，所以AB平面EFDC。又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF。由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60。从而可得C(2,0，)。连接AC，则(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)。设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)。设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)。则cosn，m。故二面角EBCA的余弦值为。【答案】(1)见解析(2)角度二：已知二面角的大小求值【典例4】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点。(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积。【解析】(1)证明：连接BD，设AC与BD的交点为G，则G为AC，BD的中点，连接EG。在三角形PBD中，中位线EGPB，且EG在平面AEC内，PB平面AEC，所以PB平面AEC。(2)设CDm，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(0，0)，E，C(m，0)。所以(0，0)，(m，0)。设平面ADE的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n10，n10，解得一个n1(1,0,0)。同
