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1、第二十七章相似教材分析一、地位与作用1. 相似是我们在前面已经研究了图形的全等、图形的变换（如平移、轴对称、旋转等） 的基础上，来进一步研究的一种变换一瀚似，利用本章所学知识，还要进一步发展学生的 探究能力，培养学生的逻辑思维能力.2. 相似作为图形的一种变换它还是全等变换的拓广和发展，也是学习锐角三角函数、 投影与视图的基础.3. 相似被广泛应用于现实生活中（测建筑物的高、树高、楼高、山高、旗杆高等，测 河宽，制作艺术字等）.另外，本章也处于学生逻辑推理证明进一步巩固和提高的重要阶段， 通过训练提高学生分析解决实际问题的能力.二、课程学习目标1. 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段
2、；通过建筑、艺术上的实例了解黄 金分割.2. 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对应边的比相等、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相 似三角形的判定定理，并能利用这些性质和判定定理解决生活中的一些实际问题.3. 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受 位似变换后点的坐标的变化.4. 结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展 学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综 合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力，同时对学生进行辨
3、证唯物主义 世界观的教育.2011年北京市数学中考说明中对本章知识的要求:考试内容考试要求ABC空 间 与 图 形图形 的认 识相似三角 形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与 判定进行简单的推理和计 算；会利用三角形的相似解 决一些实际问题图形与变 换相似了解比例的基本性质，了解线段的 比、成比例线段，会判断四条线段 是否成比例，会利用线段的比例关 系求未知线段；了解黄金分割；知 道相似多边形及其性质；认识现实 生活中物体的相似；了解图形的位 似关系会用比例的基本性质解决有 关问题；会用相似多边形的 性质解决简单的问题；能利 用位似变换将一个图形放大 或缩小三、知识结构框图四、教
4、材特点与教学重点、难点重点：相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定是本章的重点内容.难点：对于相似三角形的判定方法，定理的证明涉及到要构造一个全等的三角形作为中介， 再应用前面的定理进行证明，学生不太习惯，这是本章教学的难点.突破点：教学中要注意引导学生分析证明思路，引导学生进行转化，帮助学生克服难点. 四基：基础知识：比例线段及其性质，相似多边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定， 位似的定义及性质.基本技能：会用比例线段求线段长或列方程，会用相似多边形、相似三角形的性质与判 定解决简单的实际问题，会画位似图形（含在坐标系中）.基本思想：方程与函数思想（利用对应边的比相等建立方程或函数关
5、系式）、转化与化 归思想（多边形转化与化归为三角形研究面积）、分类与整合思想（当相似三角形不确定时， 采用分类与整合思想）、数形结合思想（如用判定时要依据数量关系找出线段的比或找出角 等）、类比与对比思想（类比与对比全等研究相似三角形的判定）、建模思想（几种基本图形）.基本实践活动：如制作地图，测建筑物的高（树高、楼高、山高、旗杆高等,）测河宽， 制作艺术字等.五、教学建议（一）、课时安排：本章教学时间约需13 （+2）课时，具体分配如下（仅供参考）：预备知识比例的概念和性质2课时27. 1图形的相似2课时27. 2相似三角形共7课时相似的判定4课时相似的性质2课时相似的应用1课时27.3位似
6、2课时数学活动小结2课时（二）、学法教法建议：1. 重视知识间的联系，注重数学思想方法的教学(1) 类比思想：学生学习相似的知识，是在前面学习全等知识的基础上的发展。从全等到 相似，是一个从特殊到一般的过程，也是学生认识上的一个飞跃。在教学时，应注意充分利 用学生在前面学到的有关知识以及研究问题的方法，注意加强相似和全等之间的区别和联 系，加强类比和对比，把相似和全等的有关问题对照讲解。例如在介绍相似多边形的性质时， 注意它和全等图形性质的区别和联系：他们的对应角都相等；全等图形对应边也相等，周长 也相等，面积也相等；相似多边形对应边的比相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相 似比的平方。研
7、究相似三角形的判定的问题时，也可以和研究全等三角形的问题作类比：判定两个三角形 全等，不一定要六个条件一一验证，有简便方法(SSS、SAS、ASA. AAS)，类似的，研究 两个三角形相似时，也不是要对所有的对应角和对应边一一验证，也有简单方法。研究相似 多边形的面积时，教科书也同研究多边形的内角和问题进行了类比：我们已经通过推理论证 得到了相似三角形的面积比等于相似比的平方，类似于研究多边形内角和的方法，可以把多 边形划分成若干个三角形，从而也能得到相似多边形面积的比等于相似比的平方。在教学时， 要充分注意这些新旧知识联系的内容，注意从学生学习的规律出发，加强新旧知识的联系， 发挥知识的迁移
8、作用。这样有助于学生对于新知识的理解。判定两个三角形全等与相似，它们之间的区别与联系表：(2) 转化与化归思想(3) 特殊与一般的关系(4) 建模思想：实际生活中的问题，建立相似三角形来解决如测量旗杆的高、河的宽度等。(5) 方程与函数思想2. 重视基础知识、基本解题方法的归纳与提升(通过一些题组进行训练)(1) 判断四条线段是否成比例线段的两种常用方法(2) 相似三角形的常见图形及其变换：(3) 证明四条线段成比例的常用方法： 线段成比例的定义；三角形相似的预备定理；利用相似三角形的性质；利用中间比 等量代换；利用面积关系方法归纳： “三点定形法”-通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或
9、纵向寻找的时候一共各有 三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似 的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论。 “等量代换法”若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三 个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行转移”(或“替换”)，常用的“替换” 方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换 “构造相似法”若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止相关知识可以选择适当的题组进行训练，力争做到由浅到深，使每一层次的学生
10、都有所 收获.（三）需要说明的十个问题：1. 教材上没有用蓝体字表示的定理不能直接用，如射影、斜边直角边、对应高的比.2. 相似图形不仅仅是平面图形，也包括立体图形.3. 与圆结合的问题，学完圆后补充此方面习题.4. 以“s，、“相似于”连接的形式，都是严格对应，不用分类;与以为顶点的三 角形相似”、与相似”表述的形式是不严格对应，需要考虑分类.5. 对于相似比，要注意顺序和对应的问题。如果两个三角形相似，那么第一个三角形 的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.两三角形 相似后，可得对应边的比相等，然后才可得一个三角形自身两边的比与另一三角形对应的两 边的比.
11、6. 类比全等，相似的传递性可直接应用.7. 类似于判定三角形全等没有“边边角”，判定三角形相似也没有“边边角”.反例 与全等时“边边角”的反例相同.8. 传统的寻找或构造基本图形法仍然重要.9. 要特别重视实际应用.如：27.2.2的例题与练习，56页10、11题测楼高的习题， 68页测旗杆的活动，41页8题，73页的13、14题，黄金分割等.10. 在没有明确指出只画一个图形的情况下，把一个图形放大或缩小需要画出两个图 形，尤其是坐标系下需要有两个坐标与原坐标对应.六. 各节教学建议：27.1图形的相似一、比例线段 基本内容：1. 两线段的比:在同一单位下，两线段的长度比2. （成）比例线
12、段：3. 比例性质:（1）比例的基本性质（这是等积式与比例式互相转化的依据）若a = c，则ad =阮；若a =，则。2 = ac （b为a、c的比例中项） b db c变式：若ad = bc,且bd 0,则a = C；若b2 = ac,且bc 0,则a = (b为a、c的比例中项) bdbc（2）合比性质(3) 等比性质acma + c + ma如果_ = 一 =一 (b + d + n 壬 0)，那么=bdnb + d + nb重要方法：1. 合比性质的推导：2. 等比性质的推导:acm= = (b + d H-n 0)bdnac 诺_ = 又b d贝 g a = bk, c = dk,，
13、m = nk又b + d + + n 丰 0a + c H m bk + dk H nk k(b + d H n a = k =b + d + nb + d + nb + d + n b专题一：比例线段例1.（易）（1）求4、9的比例中项；（2）求4cm、9cm的比例中项.解析：利用比例中项的定义求解即可.解：（1）设比例中项为x,则4： x=x： 9x2=36x=6（2）设比例中项为xcm,则4：x=x：9x2=36x=6 （负值舍去）答：（1） 4、9的比例中项为6； （2） 4cm、9cm的比例中项为6cm.总结：要牢记比例中项的定义，注意有单位与无单位的区别，有单位代表的是线段，不能为
14、 负；无单位，代表的是数，不能丢掉负值（前提已说明是线段的例外）.例2.（中）（1）求2、3、4的第四比例项；（2）求3、2、4的第四比例项；（3）求能与数2、3、4成比例的数x.解析：利用第四比例项和成比例的定义解决这几个问题即可总结：注意第四比例项的位置，以及前三项的严格顺序；若题中没有指明第四比例项，则 要注意分类讨论.例3.(中)如图，已知直线allbHc,直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F,AC = 4, CE = 6,BD = 3则BF =A.7 B. 7.5C. 8D. 8.5【答案】B例4.(难):(x+y)=1 : 2,求 x : y；若(2x-3y)(2
15、)已知三角形三边之比为a ： b ： c=2 ： 3 ： 4三角形的周长为18 cm,求各边的长.求k的值;.a + b(3)若c解析：利用比例的性质即可解决.解：(1)由(2x-3y)： (x+y)=1 : 2 得2 (2x-3y) =x+y3x=7y.*.x : y=73(2)Va : b ： c=2 ： 3 ： 4,.设 a=2k,b=3k,c=4k.三角形的周长为18 cm a+b+c=18即 2k+3k+4k=18.k=2a=4 cm,b=6 cm,c=8 cm答：三边长分别为4 cm,6 cm,8 cm.(3) 由 a + b - b + c _ a + c _ k彳得 caba+b=ck b+c=ak a+c=b
