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1、管道包扎问题的数学模型潘龙飞 摘要：本论文讨论管道的包扎问题.此问题是一种三维空间问题,我们采用剪切的措施把空间问题变为平面问题，建立刚好所有包扎所用带子最短模型和管道包扎浮现接缝处重叠模型,然后运用数学软件Matb求解。在图1中,求得最短带子包扎的通用体现式,并代入题目给出的数据得到第一种问题的最短长度为 米。在图和图3中,采用近似的解决措施求出管道包扎接缝处重叠带子宽度的体现式，代入第二个问题的数据,得到带子的重叠宽度为 0.00 米。论文的最后对临界角和截面是正多边形的管道的状况作进一步的讨论，并得到更一般的模型。核心词：临界角;临界点；临界长度；等量关系 1 问题的提出用宽度为03的带
2、子缠绕包扎圆柱型管道，管道长3m,截面周长为.5m.() 如果用带子所有包住管道，至少要用多长的带子，请你给出计算这个最小长度的公式,并且依次计算出所需长度数值.(2） 既有一条长度为1m的带子,想将这条带子所有用于缠绕包扎这个管道,可以使带子的接缝处重叠瘩接.请你给出用这条带子缠绕包扎这个管道的方案.(计算成果精确到0.01)(3) 如果管道截面是正三边形，正四边形,或边数更多的正多边形.2 问题的分析生活的经验告诉我们,在包扎圆形管道的过程中， 如果开始包扎时带子边沿所在的直线与管道母线的夹角过小,就也许浮现不能把管道所有包扎的现象; 如果夹角过大,就也许浮现包扎带子在接缝处重叠的现象.
3、因此, 随着夹角的增大，总会出目前接缝处刚好接合而没有重叠的状况.这种特殊的状况就是第一问的求解问题,称此时包扎带子的长度为临界长度， 带子边沿所在的直线与管道母线的夹角为临界角,管道任一端的带子截口所在边与管道截面的交点称为临界点.如果给定一段带子的长度不小于临界长度，则总能找到一种包扎方案,使得整条带子全都包扎完，其中接缝处有重叠.当管道的截面为正多边形时,我们把正多边形的直棱柱管道看作圆形管道的变形来解决，即正多边形的直棱柱管道的平面展开图与圆形管道的平面展开图是同样的.3 模型的假设3.1管道没有厚度（即把管道剪开图当作平面,不考虑空间构造);.2管道是刚性物体,带子也不具有弹性；.3
4、管道截面是圆形,整条管道粗细均匀，带子的宽度也不变;3.包扎过程中带子不能切断；3.5带子两端截口垂直于它的边：4 符号的商定a -带子的宽度；b -管道的长度；c -管道截面的周长；- 带子的长度；- 带子截口所在的直线与管道母线的夹角;- 直角三角形AED的面积;-直角三角形OF的面积；- 四边形CHG的面积;x - 带子重叠部分的宽度；- 重叠部分的带子长度;- 截面正多边形的边长;n- 截面正多边形的边数.5 模型的建立和求解5. 刚好所有包扎所用带子最短模型通过临界点,沿着管道的母线切开得到截面，如下图1: 图1其中矩形ABCD 为管道的侧面展开图,三角形AE为直角三角形.定理 直角
5、三角形AED的面积等于直角三角形O和四边形OHGC之和.证明 线段F和线段CG在空间图形中是重叠的,故这两线段相等.把直角三角形OBF向右移动，使BF与G重叠,则构成直角三角形OHO.又 D=OOB+C=AD故, 即定理成立推论1 沿着管道任一母线剪开得到的平面展开图中,管道截面界线的两端分别能构成两个直角三角形， 且这两个直角三角形的面积相等.由上面的定理1和推论可以得出刚好包扎管道所用带子最短的模型: 求得一般体现式为:把题目中给出的数据代入一般体现式求得第一问题的临界长度为: 50. (米）5.2管道包扎浮现接缝处重叠的模型按图1的剪开措施,得到管道平面展开图,如图: 图2其中阴影为带子
6、重叠部分.命题 在带子宽度不变的条件下,带子相接处重叠的宽度一定相等（即图2中阴影部分的平行四边形的宽度不变化).5.1求阴影部分的带子的长度.命题 阴影部分的长度比整条包扎带子的长度短线段E的长度证明由推论, 阴影部分的宽度相等, 故可以过图2的A点,垂直AE剪切, 再把剪切的左边部分图形补到右边，如下图3: 图3由图3可以看出, .2 运用阴影部分的面积相等得到模型: 化简此方程组得: ()运用Maa解方程(1）得到的成果过繁，所觉得了得到一种比较简朴而又接近实际的答案,我们作如下解决: 在生活和工作中，为了节省材料,包扎管道的带子一般不会比临界长度长太多，因此可用近似替代,求得成果为：
7、(2)把第二问题的数据代入方程(1)得:=00035把第二问题的数据代入方程(2)得:x=0.003由以上计算得到的成果可以看出,当带子的长度不太长时,用 替代这个模型的成果是可以的.且获得第二问题的成果为: 0.04 (米）.3 截面为正多边形的直棱柱管道模型 推理1 对于任何正多边直棱柱的包扎面,从临界点沿棱柱的母线剪开得到的剪开平面如图1所示(包扎方案为临界时),如果有带子重叠的情形如图2.类似以上图1 圆柱管道包扎方案的措施建立模型如下:5.3.1、包扎正多边直棱柱的临界模型：解得: 5.3.2、包扎正多边直棱柱的有重叠的模型: 以替代解得, 6 模型的分析6.、临界角的讨论临界角 (
8、）6.1.1 当时,带子不能所有包扎整条管道.如果要在角增大(即临界角增大的状况下实现所有包扎,由(3)式可以看出应加大带子的宽度或减小管道截面的周长.6.1.2 当时，带子在包扎过程中浮现接缝处重叠.如果要在角减小(即临界角减小的状况下实现所有包扎,由(3) 式可以看出应减小带子的宽度或增长管道截面的周长.故有如下推理:推理2 包扎管道的临界角随带子宽度的增大而增大，管道截面周长的减小而增大;随带子宽度的减小而减小，管道截面周长的增大而减小.6.、管道的讨论 由推论1、命题和推理1,可知无论求解模型是圆柱模型或是截面为正多边形的直棱柱,其求解过程都是相似的,故有如下推理.推理3 管道的包扎方案与管道截面是凸多边形(不限边数,不限每边的长度)或持续的凸封闭曲线无关，只与管道截面的周长C、管道长度和给定的带子的长度有关.参照文献: 吕林根.解析几何 北京:高等教育出版社，00. 刘来福. 数学模型与数学建模M北京：北京师范大学出版社,002
