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1、定比分点公式的向量形式及应用 众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法之一,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式之一;本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用;供大家参考.1 定理及其推论定理 设点分的比为(即,),为平面上的任意一点,则.(定比分点公式的向量形式)证明: ,即,即.推论1设点为的边上的点,且则.推论2设点为的边的中点,则.推论3 中，点在直线上的充要条件是：存在实数，使成立证明：（充分性），即，故三点共线，即点在直线上.(必要性)(1)当点不与重合时，可设分的比为,则由定理可知,取得.(2) 当点与重合时,可取,显然有成立.推论4在直角坐标
2、平面中,设,且点分的比为(其中),则,(定比分点公式)证明:取为原点,由定理可得,即,2 应用举例(1)证明比例线段关系例1 如图，在中,是边的三等分点，在和这之间，是的中点，是的中点，设是线段与的交点，求比值.分析:要求比值的大小,只须得到向量与向量之间的线性关系,由平面向量基本定理可知,可选择一组合适的基底, 则向量、向量都可用这组基底的线性组合表示之,一旦表示成功,则结论也唾手可得了.证明:设, ,连结、，由于,由推论1可知：=即；、三点共线， =，与是共线向量，即，故，.评注:由于本题的相关点均“生长”在的三边上,所以选择以向量, 作为基底比较合理.在向量运算过程中,通过合理的运用上述
3、定理的推论,可简化运算过程,甚至可直奔结论.例2(第23届试题)已知,是正六边形的两条对角线,点,分别内分,使得,如果三点共线,求的值. 分析: 要求出的值,只须得到关于的一个方程,故解决问题的关键是如何结合其它已知条件,把条件“三点共线”翻译成关于的一个方程.由于、三点所在直线过顶点，因此选择向量、作为基底比较合理,再把向量、用基底表示之，则不难得到关于的方程.解：由推论1可知，是正六边形，共线，故. 评注:由于本题的“情景”与推论1的使用条件非常吻合，因此上述解法通过推论1的应用使运算过程显得非常简捷,极大地缩短了解题的长度. (2)证明三角形的面积关系 例3如图所示，已知的面积为，、分别
4、是边、上的点，且，求的面积.分析:由于已知的面积,因此要计算的面积,只须求这两个三角形的面积比,注意到与是同底三角形,设直线与交于点,则只须求出点分的比,若选择以向量、为基底，再把向量、用基底表示之，则就大功告成了.解:连结并延长交于,设,、三点共线， 又，、三点共线，即，由平面向量基本定理可知且，解得，设，、三点共线，即，.评注：在用向量方法解决平面几何问题时，除注意基底的合理选择外，还需注意方程思想的应用，虽然上述解法操作过程有一定的技巧性,但若在操作过程中始终以方程思想为指导，则思路还是显得比较自然.(3)证明三点共线问题例4（2004年斯洛文尼亚数学奥林匹克试题）设、是平面上的两个不同
5、的点，四边形是平行四边形，两条对角线相交于点，点不在直线关于直线对称的图形上，、分别是线段、的中点，是直线与直线的交点；证明：、三点共线，且点的位置与平行四边形的选择无关. 分析:要证明、三点共线,只须证明,注意到是的中点,即有成立,故可选择向量为基底,再设法把向量也用基底表示之即可.证明:、分别是线段、的中点,是平行四边形,即,由推论1可知又是线段的中点, 由推论2可知,即共线,且,即、三点共线，且点的位置与平行四边形的选择无关. 评注:证明三点共线是平面几何中的难点之一,利用平面向量方法证明之思路自然且易于操作.(4)证明平面几何中的定值问题例6 已知 是的重心，过点任作一条直线，分别交边、于点、，若，求证：为定值.分析: 当点与点重合,即时,且为之中点,即,此时,因此只须证明即可.所以只须得到关于应满足的方程即可,注意到、三点共线及是的重心,因此可选择以向量为基底,由向量的两种不同的表示方法中得到此方程.证明：、三点共线，又是的重心，由平面向量基本定理可知且，（定值）. 通过以上各例的解法不难发现,用定比分点公式的向量形式及其推论解决平面几何问题的解题程序如下:(1)把平面几何问题转化为平面向量问题;(2)合理选择一组基底;(3)把问题涉及的向量用基底表示之;(4)得到需要的结论并回归到平面几何问题. 1
