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1、第22课平面向量基本定理及坐标表示普查讲22平面向量基本定理及坐标表示1. 平面向量基本定理及其应用a. 基底的判断（1）（2019汇编，5分）下面几种说法中，正确的是.（填序号） 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； 零向量不可以作为基底中的向量； a =砂+邑（入卩 R）可以表示平面内的所有向量; 若ei, e2是平面a内不共线的两个向量, 有向量的一组基底； e1, e2是平面内不共线的两个向量，若 同一向量在不同基底下的表示是相同的； 若e1,e2是平面a内不共线的两个向量,则2e2与4勺2&可作为表示平面a内所fe1 + G2= 0，贝U 入=尸 0；则对于
2、平面a内的任意向量a,使a= &+ e成立的实数对（人0有无穷多个.解析：错误：只要是不共线的一对向量就可以作为表示该平面内所有向量的基底，基 底的选取并不是唯一的；正确：零向量和任何向量都共线，与基底的定义不符；错误：1根据平面向量基本定理可知，印代必须是不共线向量；错误：因为e1 2e2= 1（4e2 2e”,所以向量e1 2es, 4e2 2&是共线向量，不能作为表示平面a内所有向量的一组基底；正确：因为e1, e2为一组不共线向量，若&+血2= 0,即?e1=厚2,只有当 入=尸0时，才能成立；错误：基底不同，向量的表示也不同，当基底确定后，向量的表示才是唯一的；错误：根据平面向量基本
3、定理可知，实数对（入0应该只有唯 对.b. 用已知基底表示向量（2018四川模拟，5分）在平行四边形 ABCD中，F是CD边的中点，AF与BD相交于E,则 AE= ( A )B.4AB+3AD44d.|Ab+3AD1 t 2 t A.3AB+ 3AD1 T 4 T C-AB+ AD55解析：如图，：四边形ABCD是平行四边形,AB / CD,FD = AB =DEBE又T F是CD边的（2018山东淄博模拟，5分）在厶ABC中，点M , N分别在AB, AC上，且AM = 2MB ,AN= 3AC，线段CM与BN相交于点P,且AB = a, Ac= b,则AP用a, b表示为（A ） 5-41
4、A. AP = 9 a+ 3 b-42B.AP = 9a +t 24C.AP = 9a + 3bt 43D.AP = 7a + 7b解析：如图，I M , P, C 三点共线，.可设 AP = xAM + (1 x)AC. / AM = 2MB , AM2 -t -t-t-t 2 -t-t 23AB.V AB = a, AC = b,. AP = xAB + (1 x)AC= xa + (1 x)b.v B, P, N 三点共线，.可t tt t 3 t tt3 t3t-2匸3x,设 AP =於 B + (1；)AN. / AN= AC,： AP=4B+ (1 力 *AC =沦 +1(1 为
5、b.又T AP= |xa + （1 x）b,.由平面向量基本定理，得15 （1 入=1 x,解得 x= I，代入 AP= |xa + (1 x)b,得 AP= 4a + gb.故选A.C.选择合适的基底表示向量（4）（经典题，5分）如图22-2所示，已知点 G是厶ABC的重心，过G作直线与AB, AC1两边分别交于 M , N两点，且AM = xAB, An= yAC，则乞的值为 -x+ y3解析：/ M , G , N 三点共线， AG= mAM + (1 m)AN.又AM = xAB, AN = yAC, AG = mxAB + (1 m)yAC. / G 是厶 ABC 的重心， AG =
6、 3(AB+ AC).又 AG= mxAB+ (1 m)yAC,1根据平面向量基本定理，得mx= （1 m）y = -,3易知m 0,1,丄3m，1y=1 1xy 3m 3 (1 m)x+ y=丄 +13m 3 (1 m)19m (1 m)13 (1 m)+ 3m 39m (1 m)2. 平面向量的坐标运算 a.向量坐标的求法（2018广东中山模拟,12 分)已知 A( 2, 4), B(3, 1), C( 3, 4).设AB = a, BC=b, CA = c,且 CM = 3c, CN = 2b.(I )求 3a + b 3c;答案：(6, 42)解：由已知得 a= AB = (3, 1)
7、 ( 2, 4) = (5, 5),b= BC= ( 3， 4)(3，一 1) = (一6，一 3),c= CA= ( 2 , 4) ( 3, 4) = (1, 8). (3 分)3a+ b 3c= 3(5 , 5) + ( 6, 3) 3(1, 8) = (15 6 3, 15 3 24)= (6 , 42). (5 分)(n )求满足a= mb+ nc的实数m , n;解:/ a= mb+ nc,- (5 , 5) = m( 6, 3) + n(1, 8) = ( 6m+ n, 3m + 8n),-6m+ n=5,-m= 1 , 解得*(9分)3m+ 8n = 5 ,n= 1.答案：m=
8、1, n= 1（川）求与向量MN共线的单位向量.答案:解：/ CM = 3c= (3 , 24) , CN= 2b= (12 , 6),MN = CN CM = (9, - 18), |Mn|= .92+( 18) 2= 9 5.(10 分)与向量MN共线的单位向量为卫丄=豳，2迈 或一卫丄=(亜,塑(12分)|mn|I5|mN| I 55 丿b .向量共线的坐标表示及运算(6) (2018 全国川，5 分)已知向量 a = (1, 2), b= (2, 2), c= (1,为.若 c/ (2a + b)，则1入=.2解析：2a + b= 2(1, 2) + (2, 2) = (4, 2),因
9、为 c= (1, ?),且 c/ (2a+ b),所以 41X21=0，解得入=3. 坐标法在平面向量中的应用a .借助网格线建立平面直角坐标系（7）（经典题，5分）已知向量a, b, c在正方形网格中的位置如图22 7所示，若c=尬+r ”入 山（入 让R），则一=_4解析：以向量a和b的交点为原点建立平面直角坐标系，如图所示,则 a= (0, 0) (1, 1)= ( 1, 1), b= (6, 2), c= (5, 1) (6, 2)= ( 1, 3).T c=扫+ (!), ( 1 , 3) = X 1, 1)+ p(6 , 2),即(一1, 3)=(入 + 6 入 + 2 ,X+ 6
10、 != 1 ,，/+ 2 = 3 ,=2 ,解得1尸一2 一= 4.2.3Vb .借助已有的(或隐含的)垂直关系建立平面直角坐标系(8) (2018福州模拟，5分)如图22- 8所示，半径为1的扇形AOB的圆心角为120 点C 在弧 AB 上，且/ COB= 30若OC = ?OA+ 2 QB，贝U H 尸12，入一尸0,V3 q 1,解得 ?d- q解析：根据题意，可得 OA丄OC,以O为坐标原点,OA, OC所在直线分别为x轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则有A(1,0),C(0,1),B(cos120 , sin120 )，即B-1，吕弓， OA = (1, 0), OC = (
11、0, 1), Ob =-寺 于.由 OC = ?OA+ 2 QB,得(0, 1) = ?(1 , 0) + 2D. 2 .2, 22c. 以圆心为原点建立平面直角坐标系(9) (2018四川校级联考，5分)在直角梯形 ABCD中，AB丄AD , AD / BC , AB= BC = 2AD=2, E, F分别为BC, CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交 BA及其延长线 于点M , N,点P在MDN上运动(如图22-9).若AP=瓜！+ QF，其中 入 让R，贝U 2入一5q 的取值范围是(C )A . 2, 2C . 22, 2解析：由于AB丄AD，故以AB, AD所在直线分别为
12、x轴、y轴，以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系.AB = BC= 2AD = 2,E, A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 1), E(2, 1), F 1 ,号.点 P 在m6n 上运动，圆的半径为 1, 设 P(cos a, sin%)(0T Ap = ?AE+ 迟F, - (cos a,sin a)= ?(2, 1) + 卩-1, 3 =2 X i= cos a,3. 解得入 + q i = sin a,1 3X= sin a+ ccos a,481 2$in a qCos a,- 2 X 5 i= 2cos a 2sin a=2 . 2sin a+ 3j
13、5 .T 0 a n, a+7n,444 2 2 C 2 2sin a+ 严 C 2.则2X 5 i的取值范围是2 2 , 2.故选C.随堂普查练221.(2018 山东模拟，5 分)设平面向量a = (1, 2) , b= ( 2 , y),若 a / b,则 |2a b|= (B )A . 35B. 4 .5C. 4D. 5解析：t a= (1, 2) , b= ( 2 , y)，且 a / b , 1X y ( 2) x 2= 0 , 即即 y= 4. 2a b= 2(1 , 2) ( 2, 4) = (4 , 8),则 |2a b|=42 + 82 = 4 5.故选 B.2. (2018辽宁大连模拟，5分)在平行四边形 ABCD中，AC与BD相交于点O, E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F ,若AC= a, BD = b ,则Af = ( B )1 1A. 4 a +1 1C.尹 + b2 1B.3a + 3b1 2D3a+3b解析：如图，四边形 ABCD为平行四边形，点 F在边CD上， AB/ DF ,詈=Dg E是线段OD的中点，O为
