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1、2。基本积分公式表（1）0dxC ()=nx|+C（) （m1，0)（4) (a0，a1）（5） （6）csxd=sinx+C(7）nxx=-cosx+（8)sec2x=anx+C（)cs2xdxcot+C(10)senxdxse+C （1）ccxcotd=cscx+C (12）=arcsinx+（3)=artxC注。（1)不是在m=-的特例.（2)=n|x|+C，n后面真数x要加绝对值，原因是(|） =1/x事实上，对0,(nx|） =1/x；若0，则(ln|） =(ln(-x) =（3）要特别注意与的区别:前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分 下面我们要学习不定积分的计算方法,首先是四
2、则运算。.复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分,它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义定理（链锁法则）设=（y)，y=j（x）分别在点y=j（0）与x可导,则复合函数z=f（x）在x0可导，且或（f oj） (x0）=f (y0）j (x0).证.对应于自变量x0处的改变量Dx，有中间变量y在y=j（）处的改变量Dy及因变量z在z=f（y0)处的改变量Dz，（注意D可能为0)现z=（y0）Dy+v，Dy=j（x）Dx+u， 且令，则v=y，（注意，当Dy=0时，Day仍成立）。在0可导又蕴含y在0连续，即Dy于是 = （)j （x0)+0j （） （y） (x）为理解与记忆链
3、锁法则，我们作几点说明：(1）略去法则中的x=x0与=y0，法则成为公式，其右端似乎约去dy后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程.(2) 计算复合函数的过程：xy z 复合函数求导的过程：zy x :各导数相乘例2。3。5 求y=nx的导数。解。令u=5x，则=iu.于是 y =cosu5=5cos5x.例2.36 求ncs的导数。解。令u=osx,则l。于是 y=.例.3.1 求幂函数y=xm的导数，为任意实数。解因=，令u=mnx,则yu。 y =um 是正整数n时，即例23。2。（3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数: 复合函数的求值：yzu
4、vw 复合函数的求导：wvuyx ：各导数相乘(4）在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u,z，y等可不必写出,只要做到心中有数。例2.3.18 求的导数解。 = . （5) 链锁法则的微分形式是:d（j(x）)（j（x)j(x） 例2。19 求函数 = 的微分解d =in2x2snxsx =2i cosxdxsnxdx 思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑5导数与微分的四则运算设u=u（x）,=v()为可导函数,c是常数，则有公式（1) （uv) = u ，d
5、(uv） ddv 公式(） (uv） = +v，d() = duuv 公式（3）（c） =cu，d(u)= cdu 公式（4） ，（v0)点击此处看公式（）(）的证明例2。.11 求y=anx的导数解（tax) = sec2x同理可得(cotx)=csc。例2。12求y=secx的导数解。(scx) = =ec tanx.同理可得(csc) -sc ctx例313 求y=(1+4x)（223x）的导数.解一。y =（1+4x）（x23x3）+(+)（223x) =4（2x2-3x）+（+4x)（22x33) =8x212x3+4x-92+1x236x34+152-48x3 解二因y =2x+5
6、x3-124，故 =22x+53224x3=4x+15x8x3。例2。.14 求函数=（xsin）的微分.解。d=nxd(x+sinx)+(x+sx）lnx =n（ddsin）+（+inx） =lnx（dx+sxdx）+x d导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念定义。设函数y=f（x）在包含点x0的一个开区间X（这样的开区间称为x0的邻域）内有定义，y0=f(0）如果xX0，我们称xx0 0（读作dta)为自变量的改变量，Df（x）f(x0）为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率如果极限 存在，则称函数yf（）在点0可导（或可微),该极
7、限称为函数y=f(）在0点关于自变量的导数(或微商)记作因Dx=x-，x=0x，故还有此时，曲线yf（x）在点（x0,f(x0）)的切线方程是.注意Dx可正可负，依x大于或小于x0而定 根据定义求已知函数yf(x)在给定点0的导数的步骤是：（1） 计算函数在自变量+Dx处的函数值（x+Dx)；（2） 计算函数的改变量Dy=f(x0D）-f（x0）；（3） 写出函数的差商；（4）计算极限，即导数值例2。3.1求常数函数y=c的导数解.因Dy=y(x+D)y（x)c-c=0,差商，故 =0此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为例23。2 设n是正整数,求幂函数=xn 在点x处的导
8、数解因y（x+Dx)=（+Dx）nxn+,=（x+D）y（）=,故 特别，当=1时，函数yx在任意点处的导数为1。例2.3. 求曲线=3在点（2,8） 处的切线方程解.在上例中取n可知函数y=x3在点x处的导数为3x，于是在点（2，8）处的切线斜率是:(2）=32=12，故曲线y=x3在（，)处的切线方程是y-8=2（-2） 12x-16=0。注（)从上述例子我们看到,一般情况下,给定函数y=f()在某个区间X内每一点都可导,这样可求出X内每一点的导数(），xX。于是y(x)成为X内有定义的一个新函数,我们称它为给定函数y=f(）的导函数，且常常省略定义中的字样“在点处关于自变量的”，甚至简称
9、f(x）的导数例如我们说常数函数y=c的导数是0， y=x的导数是1，y=n的导数是等等，分别记作 , =1，（x)=等等（2）关于改变量的记号，应把它与其后面的变量x或看作一个整体量,就象sinx中的sin一样,绝不能把D看成D与x的乘积，特别，为避免误解，我们用（Dx)2来表示Dx的平方而不写D .从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式：(点击此处看例2.。4，例.3.5，例23.6证明)例.4 y=nx的导数是（sinx) =cosx,y=csx的导数是（cosx) =sinx例2。3。5 y=logax（0a1)的导数是（lo）= .特别，（nx）=1/x 例2。36 指
10、数函数y=ax(a1）的导数是（a）=alna特别,（x)=ex 8. 导数的导数-二阶导数一般来说，函数=(x)的导数还是以x为自变量的函数：y f(x)，如果它还可导,我们又可得f（)的导数：（)f (x）,称为y=f(x）的二阶导数，记作y =f （)，或.如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶,的导数，对任意正整数n ，n阶导数被定义为y(n）（(-1)，n2,3，统称为函数 的高阶导数.例2。22 求y=snx的n阶导数解.y=cosx=si,用归纳法不难求出 y(n）=in.例。3.23 若 =s()为质点运动的路程函数，则s （t)=(t)是运动速度又，二阶导数s(t） （t
11、）=a(）则是运动的加速度.例224 求y =arc tanx的二阶导数.解.y ,y=(1+x)(1+x2)=思考题.对于可导函数=f（x)来说，导数 （x）表示曲线的切线斜率，请你考虑,如果f （）还可导,那么 (x）的正或负，反映函数=f（x）的图像的什么性态实验题。选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响.7. 基本初等函数的导数与微分公式求导公式 求微分公式（1） c =0 (） (xm) =xm-1(3) (ax） =axl（e） =ex（)(loax） （x) (5）（sx） =cox（6) (csx) =in（7) (tan）sec
12、2（8) （ctx) =cs2x（) （secx） = ex anx（10) （cscx） cscco（11） （ain） = （2) （arccosx）（3）（arctanx） =（1) (arctx)= d=0dxm=mx-1dx，Rdax=xladx,0 1deexxlogax=，01dndsinx=cosdcosx=-sinxxdtnx=scctx=-csc2dxdsec=secx anxddcsx-scx ctxdxdarsnx=darcosx=darcanx=darct= 例3.20 求acs的微分解. 例2。3.21求=+artane的导数解. 1。二元函数的导数与微分（选学）设z=f（x，y)是两个自变量x与的函数，与的变化都会引起函数z的变化,实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化,即将另一自变量固定不变,看作常数，此时函数就像一元函数了.函数z关于一个变量的导数就称为z关
