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1、排列、组合问题的常考模型及解题策略 在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题（区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看选出的元素与顺序是否有关若交换两个元素的位置对结果产生影响，则属排列问题；无影响时则属组合问题！），牢记排列数、组合数计算公式与性质。难点在于容易计数重复或遗漏。.基本概念和公式两个原理： 分类计数原理分步计数原理说明：“分类”问题中，各种方法相互独立，使用每种方法都可以完成这件事；“分步”问题中，各种方法相互依存，只有每步都完成，才算完成了这件事. 排列与排列数：组合与组合数：公式： 其中： 其中：； ； （组
2、合数的三大性质！）； （两个重要的裂项公式！）思： ； ； .常见模型与解题策略两种计数原理的直接应用 映射个数的计算 Ex:设集合A中有m个元素，B中有n个元素，则可建立从A到B的不同映射 个.设集合从M到N满足的映射f共有 个.设集合映射中满足的共有 个.重排问题（即相同元素可重复参与的排列问题）可用分步计数原理去解Ex:用07这八个自然数可以组成 个不同的四位数.把8名教师分配到3所学校监考，共有 种不同的分法.有3个比赛项目，6人报名参加，每人参加一项，共有 种不同的报名方法.将4封信投入3个不同的信箱，共有 种不同的投法.染色问题Ex:如图所示，一个地区分为四个行政区域，现给地图着色
3、，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有四种颜色可供选择，则不同的着色方案共有 种.若将上一题中的区域改为5个，如上图（右），则不同的着色方案有 种.如图所示，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）DBCAA96B84C60D48 其它问题Ex:在一个已经排定的节目单中共有7个节目，临播前需新插入2个节目， 共有 种不同的插入方法.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345
4、种特殊元素或特殊位置的排列问题优先考虑特殊元素（位置） Ex:2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A.36种 B.12种 C.18种 D.48种用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A.328 B.324 C.360 D.648从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有一人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ） A.49 B.85 C.56 D.28从0,1,2,3,4,5
5、这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成无重复数字的四位数的个数为（ ） A.180 B.300 C.216 D.162某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，乙不排在第一位，并不排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A.36种 B.42种 C.48种 D.54种相邻元素的排列问题捆绑法 Ex:7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻的站法共 种.记者要为5名志愿者和他们帮助过的2位老人拍照，要求站成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A.960种 B.480种 C.720种 D.1440种相离元素的排列问题插空法 Ex:5名男同学
6、和4名女同学排成一排，4名女同学均不相邻的排法种数为 .在上述问题中，若要求男女相间排列，则不同的站法共有 种.在数字1,2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任两个数字都不相邻的全排列个数为（ ） A.12 B.24 C.6 D.183位男生和3位女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且仅有2人相邻，则不同的站法种数为（ ） A.288 B.360 C.96 D.216由1,2，3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数为 .这其中又存在一类特殊模型入座问题（座位固定，人在不相邻的座位上入座）例如：一排共10个座位，4人去坐，则他们均不相邻的坐法有 种
7、.马路上有9只灯，为节约用电，现要求把其中3只关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则关灯方法数为 种.定序排列问题比例处理（除法处理） Ex:有3名男生和2名女生排成一队，若女生顺序一定，则共有 种不同的排法.7人站成一列，甲站在乙、丙的前面的方法共有 种.今有2个红球，3个黄球，4个白球，同色球不加以区分，若将这9个球排成一列，有 种不同的排法.由3个3和4个4可以组成 个不同的七位数.多排问题直排处理的策略 Ex:7人坐两排座位，第一排坐3人，第二排4人，共有 种不同的坐法.环排问题的公式 n个不同元素作环状排列，不同的排法数为 Ex:8个人围一圆桌吃酒，则有 种不
8、同的坐法.排组的混合问题先选再排 Ex:将4个不同的小球放入标号为1，2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有 种.模型：将n个不同元素排到n-1个不同的位置上，每个位置都不空的排法数为： 将n个不同元素排到n个不同的位置上，恰有一个空位的排法数为：7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有 种.甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 .将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班级，每个班至少分到一名，且甲、乙两名学生不能分到同一个班级，则不同的分法有 种.7人站成一排，要求
9、甲、乙两人之间恰好隔三人的站法有 种.正难则反，选用淘汰法（剔除法）的策略 Ex:甲、乙、丙、丁四人进行4 100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒的接力方法共有 种.从5名男医生和4名女医生中选3名组成一个医疗队，要求男女都有，则不同的组队方法共有 种.甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在1日，丁不排在7日，则不同的安排方案共有（ ）A.504种 B.960种 C.1008种 D
10、.1108种 以长方体的8个顶点为顶点，可以构成的四面体个数为 .分组问题 无序分组问题中，可按照分步计数原理计算方法数.不平均分组时，根据每组的元素数直接选；平均分组时，依次把每组的元素选出后再除以组数的阶乘！例如：将6人分成两组，一组2人，一组4人的分法数为 将6人平均分成两组的分法数为平均分为3组的方法数： 有序分组问题中，先进行无序分组，再将每一组看成一个整体元素进行排列！例如：将6名医生分配到两所医院，一所分2人，一所分4人，分法数 将6名医生平均分配到3所医院的分法数为 Ex:将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配1名志愿者的方案种数为 .北京财富全球论
11、坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ） A. B. C. D.12个篮球队中有3个强队，将这12个对任意分成3个组（每组4个对），则3个强队恰好被分到同一组的概率为 .为庆祝六一儿童节，某食品长制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片.集齐3种卡片可获奖.现购买该食品5袋，能获奖的概率为 .将6名志愿者分成4组，其中两个组各2名，另两组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种.换座模型 2人换座的方法数：1种； 3人换座的方法数：2种； 4人换座的方法数：9种. Ex:7人站
12、成一排，若将其中4人位置交换，共有 种方法.同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿一张，则他们均拿到了别人送来的贺年卡的概率为 .将1,2,3填入33的方格中，要求每行每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填法共有 .如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，不同的涂色方案共有 种.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”，“立定跳远”，“肺活量”，“握力”，“台阶”五个项目的测试.每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”，下午不测“台阶”，其余项目上、下午都各测1人，则
13、不同的安排方式有 种. 鞋子成双模型 Ex:从5双不同鞋子中取出4只，恰有2只成双的概率为 .盒子中装着标有数字1,2，3,4的卡片各2张，从中抽出3张，3张卡片数字均不同的概率为 .从52张的扑克牌中，任取3张，它们花色不同的取法共 种.相同元素的排列问题隔板法 Ex:将11个相同的小球放入5个不同的盒子中，每个盒子都不空的放法数为 .将12个相同的小球放入编号1,2,3的盒子中，每个盒子里的小球数均不小于编号的放法有 种.甘肃省教育厅将10个省级大学优秀毕业生名额分给三所高校，每校至少2人的分配方法有 种.若，则方程的解的个数为 数字的特殊排列问题 能被2,3，6，25整除的数字特征？ Ex:从09这十个数字中任取3个数字组成一个无重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A.210个 B.300个 C.464个 D.600个
