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1、第八章非线性控制系统重点内容：1 掌握自动控制系统中常见的典型非线性特性；2掌握用解析法分析一阶、二阶非线性控制系统的相平面法，奇点的类型、开关线; 分析稳定性、平衡状态、稳态精度、受初始参数的影响。3熟练掌握应用描述函数分析法分析典型非线性系统的稳定性；4.掌握应用描述函数分析法，分析典型非线性系统自振荡产生的条件及振幅和频率 的确定。一般内容：1了解非线性控制系统与线性控制系统最重要的区别；2.了解分析非线性控制系统的常用方法一描述函数法和相平面法。一非线性系统特性1. 常见的典型非线性特性：饱和特性、死区特性、回环特性、继电器特性、变放大 系数特性等。2. 非线性系统的特性：非线性控制系
2、统与线性控制系统相比，有如下特点：(1) 非线性控制系统的稳定性，不仅取决于系统的结构和参数，而且与输入信号的 幅值和初始条件有关。(2) 在非线性控制系统中，如果输入是正弦信号，输出就不一定是正弦信号，而是 一个畸变的波形，它可以分解为正弦波和无穷多谐波的叠加。(3) 叠加原理不适用于非线性控制系统。(4) 非线性控制系统常常产生自振荡。在非线性控制系统中，即使没有外加的输入 信号，系统自身产生一个有一定频率和幅值的稳定振荡，称为自振荡(自持振荡)。自振 荡是非线性控制系统的特有运动模式，它的振幅和频率由系统本身的特性所决定。二非线性控制系统的分析研究方法：1非线性控制系统的描述函数法：(1
3、) 概述：是一种基于频率域的分析方法。这种方法主要用于研究非线性系统的稳定性和自振荡 问题。如系统产生自振荡，如何求出其振荡的频率和幅值，以及寻求消除自振荡的方法等。非线性控制系统经过变换和归化可表示为图8-1所示的典型结构。其中函数N(X)称 为该非线性元件的描述函数，G(j)为系统的线性环节。此描述函数N(X)是正弦输入 信号幅值X的函数，这时线性系统中的频率法就可用来研究非线性系统的基本特性，而1N (X)称为描述函数的负倒特性。rN (X)G (j)c8-1非线性控制系统典型结构图(2) .用描述函数法分析非线性控制系统稳定性：仿效线性系统用奈氏判据来判定非线性系统的稳定性，不再是参考
4、点(-1, j0)，而是 一条-1 N(X)的轨迹线。因此，对非线性系统进行稳定分析时，首先要在复平面上分别绘 制出以频率为变量的G(j)幅相特性曲线和以幅值X为变量的-1. N(X)曲线，然后根 据它们的相对位置来判定该系统的稳定性。 如果-1 N(X)的轨迹没有被G(j)曲线所包围，则非线性系统是稳定的。而且两曲线 相距愈远，系统愈稳定。 如果-1N(X)的轨迹被G(j)曲线所包围，则相应的非线性系统是不稳定的。 如果-1N(X)的轨迹与G(j)曲线相交，则系统的输出有可能产生自持振荡。为简便判断交点处产生的自持振荡是否稳定，我们以G(j)曲线为界把复平面划分为 稳定区和不稳定区。若-1N
5、(X)曲线沿箭头方向由不稳定区经交点进入稳定区，则在该交 点处产生的自持振荡是稳定的；若-1N(X)曲线沿箭头方向由稳定区经交点进入不稳定 区，该交点产生的自持振荡就是不稳定的。2.非线性控制系统的相平面法:(1)概述：由x, x组成的平面叫做相平面。相平面上的每一点都代表系统在相应时刻的一个状 态。以t为参变量，把X，X的关系画在以x和X为坐标的平面上，这种关系曲线称为相 轨迹。(2)相轨迹的性质相轨迹运动方向的确定-顺时针运动在上半平面上，由于x 0,表示随着时间t的推移，系统状态沿相轨迹的运动方向是x 的增大方向，即向右运动；在下半平面上，由于X0,表示随着时间t的推移，相轨迹的运动方向
6、是x的减小方 向，即向左运动。通过横轴时(X = 0 )，以90穿越x轴。因为在X轴上的所有点，其X总等于零，dx因而除去其中/(x,x)= 0的奇点外，在其他点上的斜率为丟R，这表示相轨迹与相平面的横轴X是正交的。相轨迹上的每一点都有其确定的斜率dxf (x, x)= =dxx上式称为相轨迹的斜率方程，它表示相轨迹上每一点的斜率字都满足这个方程。dx相轨迹的奇点和普通点 对每一个给定的初始条件，只有一条相轨迹。因此，从不同初始条件出发的相轨迹是字=-f (x,x)=0 ndx x 0不会相交的。只有同时满足x = 0，f(x,x) = 0的特殊点，即:x = 0 c，由于该点相轨迹的斜率为0
7、/0，是一个不定值，因x = 0 而通过该点的相轨迹就有无数多条，且它们的斜率也彼此不相等。具有x = 0、f(x,x) = 0的点称为奇点(平衡点)。由于奇点的速度和加速度为零，同时，它一般表示系统的平衡状态。在相平面上，除奇点以外其他点，叫做普通点。在普通点上，系统的速度和加速度不 同时为零，普通点不是系统的平衡点；系统在普通点上斜率是唯一的。对于线性定常系统，原点是唯一的平衡点。渐进性(特殊相轨迹)一斜率二常值的直线相轨迹。dx -f (x, x)/ 、-a=n x = g(a)x = kxdx x只有线性系统才可能有渐进性。a , k为常数。(3) 二阶线性系统的相轨迹、奇点、将近线(
8、b)不稳定焦点(d)不稳定节点(e)中心点三典型例题分析：例8-1非线性系统的G(加)及-1N(X)的轨迹如图8-2所示，试判断该系统是否稳 定。Im解：因为由图可知，G(j)曲线包围了 -1N(X)曲线，所以不论幅值X如何变化,该非线性系统都是不稳定的。例8-2非线性系统的G(j)及-1N(X)的轨迹如图8-3所示，试判断该系统有几个 点存在自振荡。召忌/ NIm/ 0ReG(jw) -1/N./十亠V p图8-3非线性系统框图解:因为由图可知，在复平面上G (j)曲线与-1N (X)相交，系统可能发生自持振汤。图中-1N(X)曲线沿箭头方向由稳定区经父点P进入不稳定区，所以P点不存在自持
9、振荡；而-1 N(X)曲线沿箭头方向从不稳定区经交点Q进入到稳定区，所以交点Q处存在 自持振荡。例8-3具有理想继电型非线性元件的非线性控制系统如图8-4(a)所示，试确定系统 自振荡的幅值和频率。J2yy150 xs (0.1s + 1)(0.2s +1)-2图8-4(a)非线性控制系统结构图解：(1)在复平面上分别绘制-1N(X)曲线和G(j)曲线。绘制-1 N(X)曲线：由理想继电型非线性特性可知4M兀X由图8-4(a)的系统结构图知M = 2，则得负倒数描述函数:当X从0 T8变化时，-1N (X) = 0 T-a，-1N (X)曲线起始于坐标原点(0,0)，并随 着幅值X的增大沿着复
10、平面的复实轴向左移动，终止于g，如图8-4(b)所示。绘制G(於)曲线：由于G(jw)与实轴相交:ImG(jG)=15(1 0.02 2)w(l + 0.05 2 + 0.0004 4)解得：，代入ReG(j)求得:ReG( j). = = 1J50 1 + 0.05 2 + 0.0004 4厂=、50则G(j)曲线示于图8-4(b)。(2)确定系统自振荡的幅值和频率:由图8-4(b)可见：(-1, j0)点为G(j)曲线与负实轴的交点，亦是-1N(X)和G(j)的交点。因-1N(X)穿出G(j)，故交点为自持振荡点。自振频率 =50,自振振幅由下列方程解出：=Re G (j)l=* 50即三
11、=-1,88X = 2.55兀例8-4非线性系统的G(j)及-1N(X)的轨迹如图8-5所示，(该非线性系统相对负 倒数描述函数-1N(X)曲线重合于实轴，为了清晰起见，画成了双线。其中交点M处的 振幅为X = 0.76，交点M处的振幅为X = 1.83，频率为1 2 2 = 200。试确定系统是否存在自持振荡，若有自持振荡，求 出系统自持振荡的幅值和频率。解：-1 N(X)的轨迹与G(j)曲线相交，则系统的输出有可能产生自持振荡。在交点M1处，-1/N(X)曲线沿箭头方向 从稳定区进入了不稳定区，M1点产生的自持振荡就是不稳定的；而在交点M 2处，-1N(X)曲线沿箭头方向是由不稳定区进入到
12、了稳定区，故在该交点处产生的自持振荡是稳定的；即M2点是自振荡点，所以系统自持振荡的幅值为X2 = 1.83，频率为 = 200。例8-5设系统方程为X + (3X一0.5)X + x + x2 = 0，求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。特征方程:s 2 一 0.5s +1 = 0s 2 一 0.5s 一 1 = 0s = 0.5 土 J0.97J0.78不稳定焦点；鞍点s = 一 1.28其它例题见课件。四.习题4M8-1如图8-6所示的非线性系统，非线性部分的描述函数为N(X) =(M=l),线性兀X部分的传递函数为G(j)=s(0亍2，试用描述函数法讨论:(1) 该系统是否存在稳定的自持振汤点。(2) 确定其自持振荡的幅值和频率。MG (jo)r0 X-Mx图8-6非线性控制系统框图8-2非线性系统如图8-7所示，(1) 该系统是否存在稳定的自持振荡点。(2) 确定其自持振荡的幅值和频率。r心 x1yI0 X*-1s( s +1)( s + 2)10图8-7非线性控制系统框图8-3非线性系统G(jo)及-1/N(X)的轨迹如图8-8所示，试判断该系统有几个点是稳定 的自持振荡点。图8-8非线性系统图
